mały|prawo|250x250px|Antena Yagi-Uda. Fale radiowe są emitowane z anteny poprzez przyspieszenie elektronów w tejże antenie. W tym koherentnym zjawisku całkowita moc wypromieniowana jest wprost proporcjonalna do kwadratu ilości przyspieszanych elektronów. Wzór Larmora – wzór określający całkowitą moc wypromieniowaną przez nierelatywistyczny punkt posiadający ładunek elektryczny, kiedy przyspiesza bądź zwalnia. Znajduje zastosowanie w dziedzinie fizyki zwanej elektrodynamiką; nie dotyczy natomiast innego zjawiska nazwanego od tego samego uczonego, precesji Larmora w zjawisku klasycznego rezonansu magnetycznego. Wzór ten został wprowadzony po raz pierwszy przez J.J. Larmora w 1897 roku w kontekście teorii falowej natury światła.
Kiedy naładowana cząstka (przykładowo elektron bądź proton) przyspiesza, emituje energię w postaci fali elektromagnetycznej. Dla prędkości, które są małe w stosunku do prędkości światła, całkowitą wypromieniowaną moc określa wzór Larmora: (w jednostkach SI),
(w jednostkach cgs),
gdzie: – przyspieszenie cząstki, – ładunek elektryczny cząsteczki, – prędkość światła w próżni.
Relatywistyczne uogólnienie jest opisane przez potencjał Liénarda-Wiecherta.
W każdym systemie jednostkowym, moc wypromieniowana przez pojedynczy elektron może zostać wyrażona w dziedzinie promienia i masy elektronu jako:
Wyprowadzenie Najpierw należy wprowadzić formułę pola elektrycznego i magnetycznego:
oraz
gdzie: – prędkość podzielona przez c, – przyspieszenie podzielone przez c, – wektor jednostkowy o kierunku takim jak kierunek wektora
– miejsce ładunku,
Wielkości po prawej stronie zależności są określane w czasie opóźnionym o czas dotarcia fali do określonego miejsca równy:
Po prawej stronie równania jest suma pola elektrycznego związanego z prędkością i przyspieszeniem naładowanej cząstki. Pole prędkości zależy tylko od a pole przyspieszenia zależy od obu i oraz kąta między nimi. Ponieważ pole prędkości jest proporcjonalne do więc maleje bardzo szybko wraz ze wzrostem odległości. Z drugiej strony pole przyspieszenia jest proporcjonalne do co oznacza, że maleje znacznie wolniej ze wzrostem odległości.
Można znaleźć gęstość strumienia energii pola promieniowania, obliczając jego wektor Poyntinga:
gdzie indeksy „a” podkreślają, że bierzemy tylko pole przyspieszenia. Podstawienie do wzoru zależności między polem magnetycznym i elektrycznym przy założeniu, że cząsteczka natychmiast spoczywa w czasie w uproszczeniu daje:
Jeśli kąt między przyspieszeniem a wektorem obserwacyjnym oznaczy się przez i wprowadzi przyspieszenie wtedy moc emitowana na jednostkę kąta bryłowego jest równa:
Całkowitą moc promieniowania można uzyskać poprzez całkowanie tej wartości po wszystkich kątach, daje nam to formułę całkowitą wzoru Larmora:
Przypisy
Bibliografia J. Larmor, On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium, „Philosophical Transactions of the Royal Society” 190, (1897) s. 205–300
Kategoria:Fizyka atomowa Kategoria:Elektromagnetyzm Kategoria:Równania różniczkowe cząstkowe Kategoria:Promieniowanie elektromagnetyczne