frame|right|Przykładowe konfiguracje pentagramma mirificum thumb|348px|Zależności między kątami i bokami pięciu trójkątów prostokątnych przyległych do wewnętrznego pięciokąta: ich koła Nepera zawierają przesunięte cyklicznie części
Pentagramma mirificum (łac. cudowny pentagram) – w geometrii sferycznej wielokąt gwiaździsty złożony z pięciu łuków kół wielkich, którego wszystkie kąty wewnętrzne są proste. Figurę tę opisał John Napier w pracy Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Opis cudownej tabeli logarytmów) z roku 1614 wraz z regułą Nepera, która wiąże wartości funkcji trygonometrycznych pięciu części trójkąta sferycznego prostokątnego (dwóch kątów i trzech boków). Własności pentagramma mirificum badał między innymi Carl Friedrich Gauss.
Własności geometryczne Na sferze miarą kąta wyraża się zarówno kąty, jak i boki trójkątów sferycznych (łuki kół wielkich). Kąty i są proste. Miara łuków i wynosi W pięciokącie sferycznym każdy wierzchołek jest biegunem przeciwległego boku. Na przykład punkt jest biegunem równika punkt – biegunem równika i tak dalej. Miara kąta zewnętrznego przy każdym wierzchołku pięciokąta jest równa mierze przeciwległego boku. Na przykład i tak dalej. Koła Nepera trójkątów i są obrócone względem siebie.
Wzory Gaussa Gauss wprowadził oznaczenia
Zachodzą następujące tożsamości, które pozwalają na wyznaczenie dowolnych trzech z powyższych wielkości na podstawie dwóch pozostałych:
Gauss udowodnił następującą „piękną równość” (schöne Gleichung):
Spełniają ją na przykład liczby których iloczyn wynosi
Dowód pierwszej części równości:
c.b.d.u.
Dowód drugiej części równości:
c.b.d.u.
Również od Gaussa pochodzi wzór
gdzie to pole powierzchni pięciokąta
Rzut gnomoniczny Obrazem pięciokąta sferycznego w rzucie gnomonicznym (rzucie o środku w środku sfery) na dowolną płaszczyznę styczną do sfery jest pięciokąt prostoliniowy. Jak wiadomo, przez jego pięć wierzchołków przechodzi dokładnie jedna krzywa stożkowa; w tym wypadku jest to elipsa. Gauss wykazał, że wysokości pięciokąta (proste przechodzące przez wierzchołki i prostopadłe do przeciwległych boków) przecinają się w jednym punkcie który jest obrazem punktu styczności płaszczyzny rzutu i sfery.
Arthur Cayley zauważył, że jeśli obrać środek układu współrzędnych kartezjańskich w punkcie to między współrzędnymi wierzchołków zachodzi związek gdzie to długość promienia sfery.
Przypisy
Linki zewnętrzne
Kategoria:Rodzaje wielokątów Kategoria:Okręgi na sferze