alt=Dwuwymiarowy wykres punktowy przedstawiający setki symulacji prób, oraz dopasowane do ich rozkładów linie. Błąd oszacowania z poprawką jest, niezależnie od rozmiaru próby, znacznie bliższy zera.|mały|Błąd oszacowania wariancji (na osi Y) z poprawką i bez (kolor czarny i żółty), w zależności od wielkości próby (na osi X) – ilustrowany na podstawie stu symulacji losowań z rozkładu normalnego (μ=0, σ²=1) dla każdego n. Średni błąd oszacowania z poprawką jest równy zeru. Błąd estymatora bez poprawki jest szczególnie silny w próbach mniejszych niż ok. 30 obserwacji. Poprawka Bessela – stosowanie zamiast surowej liczby obserwacji przy statystycznej estymacji wariancji populacji na podstawie próby. Poprawka redukuje obciążenie tego estymatora (systematyczne niedoszacowanie wariancji) wynikające z jednoczesnego szacowania wariancji i średniej ze skończonej próby. Ma znaczenie zwłaszcza przy próbach poniżej ok. 30 obserwacji. Jej zwyczajowa nazwa odwołuje się do astronoma Friedricha W. Bessela; technikę opisał w tym samym okresie jednak także Carl Gauss.
Poprawka nie jest potrzebna, jeśli do obliczeń wykorzystuje się prawdziwą średnią populacyjną. Jeśli dane nie pochodzą z rozkładu normalnego, poprawka może być nieskuteczna i zwiększać błąd średniokwadratowy estymatora. Nie zapewnia nieobciążenia oszacowania odchylenia standardowego. Inne momenty rozkładu (jak skośność i kurtoza) także wymagają poprawek, jednak jest to bardziej skomplikowane.
Dowód Oczekiwana rozbieżność pomiędzy obciążonym estymatorem wariancji z próby, a jej prawdziwą wartością w populacji, odpowiada wariancji średniej z próby:
I analogicznie, oczekiwana wartość obciążonego estymatora to prawdziwa wartość wariancji pomniejszona o tę rozbieżność:
Co pozwala uzyskać następujący wzór na estymator nieobciążony:
Intuicja Estymator obciążony jest obliczany przy użyciu średniej z próby, co wprowadza dodatkowe źródło błędu – każde odchylenie obserwacji, jest niedoszacowane o odchylenie średniej z próby od średniej z populacji, Wariancja jej estymatora wynosi Poprawka Bessela usuwa to systematyczne obciążenie.
Przypisy
Kategoria:Teoria estymacji