Współczynniki Clebscha-Gordana – współczynniki liczbowe pojawiające się w rozkładzie stanów kwantowych, będących stanami własnymi operatorów momentu pędu, spinu bądź izospinu. Wartości współczynników Clebscha-Gordana są stabelaryzowane. Współczynniki te zostały wprowadzone przez niemieckich matematyków Alfreda Clebscha i Pawła Gordana, w związku z rozwojem teorii niezmienników.
Sprzężenie dwóch stanów kwantowych Jeżeli dwa stany kwantowe oraz opisane liczbami kwantowymi momentu pędu orbitalnego/spinowego oraz oraz liczbami kwantowymi oraz opisującymi rzuty wektorów momentu pędu na wybraną oś sprzęgają się ze sobą, to powstający stan jest superpozycją stanów tj.
przy czym:
– współczynniki Clebscha-Gordana.
Rozkład danego stanu sprzężonego Słuszna jest też relacja odwrotna, pozwalająca znaleźć rozkład danego stanu sprzężonego w bazie stanów niesprzężonych
przy czym oraz takie że:
lub lub
Stany kwantowe operatora izospinu Współczynniki Clebscha-Gordana znajdują ważne zastosowanie w znajdowaniu stanów po sprzężeniu stanów izospinowych oddziałujących cząstek lub w rozkładzie stanu sprzężonego w bazie dwóch stanów niesprzężonych – pozwala to np. obliczać amplitudy rozpraszania oddziałujących cząstek lub względne prawdopodobieństwa rozpadu danej cząstki na inne cząstki elementarne. Z uwagi na to, że operatory izospinu i rzutu izospinu na wybraną oś mają identyczne własności algebraiczne jak operatory orbitalnego i spinowego momentu pędu, współczynniki Clebscha-Gordana są takie same, jak w przypadku stanów momentu pędu.
Przykład: sprzężenie stanów Omówimy tu sposób wykorzystania tabel ze współczynnikami C-G na podstawie przypadku sprzęgania stanów o liczbach kwantowych
(1) W kolejnych wierszach tabel podane są możliwe wartości
(2) Współczynniki C-G dla danych wartości i wartości są na skrzyżowaniu kolumny z wartościami oraz wiersza w wartościami – podano je wytłuszczonym drukiem.Przy czym z podanych wartości liczbowych należy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy, zostawiając ewentualny znak – przed pierwiastkiem. + j 1 m 1 m1, m2 +1/2, +1/2 1 + cd. j 1 0 m 0 0 m1, m2 1/2, −1/2 1/2 1/2 m1, m2 −1/2, 1/2 1/2 −1/2
+ cd. j 1 m −1 m1, m2 −1/2, −1/2 1
Np. dla mamy dla współczynnik dla współczynnik
Na podstawie tabel odczytujemy: (a) stany sprzęgają się w stan tj.
(b) stany sprzęgają się w superpozycję stanów tj.
(c) stany sprzęgają się w superpozycję stanów tj.
(d) stany sprzęgają się w stan tj.
Przykład: Rozkład danego stanu sprzężonego Na podstawie powyższych tabel można znaleźć rozkład danego stanu sprzężonego w bazie stanów niesprzężonych: tym razem znajdujemy tabelę z odpowiednimi wartościami a następnie odczytujemy współczynniki C-G w kolumnie, odpowiadającej tym wartościom.
Np. niech wtedy liczby mogą mieć wartości:
Na podstawie tabel odczytujemy:
(a) stan rozkłada się w pojedynczy sposób
(b) stan rozkłada się na superpozycję stanów
(c) stan rozkłada się w pojedynczy sposób
(d) stan rozkłada się na superpozycję stanów
Bibliografia David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press 2008.
Kategoria:Mechanika kwantowa Kategoria:Fizyka matematyczna