Metoda Kaczmarza (lub algorytm Kaczmarza) – iteracyjny algorytm przybliżonego rozwiązywania układów równań liniowych. Po raz pierwszy została odkryta przez polskiego matematyka Stefana Kaczmarza i opublikowana w 1937 roku. Ponownie została odkryta w kontekście rekonstrukcji obrazu przez Richarda Gordona, Roberta Bendera i Gabora Hermana w 1970 r.
Niech będzie układem równań liniowych, liczbą wierszy zaś -tym wierszem macierzy oraz niech będzie dowolnym, początkowym przybliżeniem rozwiązania układu Dla niech:
gdzie
Jeżeli układ jest niesprzeczny, to tak otrzymany ciąg ma granicę, która jest rozwiązaniem wyjściowego układu.
Metoda Kaczmarza znalazła zastosowanie m.in. w tomografii komputerowej oraz cyfrowym przetwarzaniu sygnałów.
Przypisy
Bibliografia S. Kaczmarz, Przybliżone rozwiązywanie układów równań liniowych – Angenäherte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen, Bull. Int. Acad. Polon. Sci., Cl. Sci. Math., Ser. A, Sci. Nat., s. 22–24, 1937. R. Gabor, R. Bender, G.T. Herman, Algebraic reconstruction techniques (ART) for three-dimensional electron microscopy and x-ray photography, J. Theor. Biol. 29, s. 471–481, 1970. Y. Censor, S.A. Zenios, Parallel optimization: theory, algorithms, and applications, New York: Oxford University Press, 1997. R. Aster, B. Borchers, C. Thurber, Parameter Estimation and Inverse Problems, Elsevier, 2004.
Linki zewnętrzne Opis metody oraz oryginalny artykuł Kaczmarza, blog beta-iks.pl, 17 marca 2021 [dostęp 2021-08-18].
Kategoria:Układy równań liniowych