Funkcja lokalnie całkowalna – funkcja, która jest całkowalna na każdym zbiorze zwartym, ale może nie być całkowalna na zbiorach otwartych. Takie funkcje mają zastosowanie w analizie funkcjonalnej i odgrywają także ważną rolę w teorii dystrybucji. Pojęcie funkcji lokalnie całkowalnych można uogólnić do pojęcia funkcji lokalnie p-całkowalnych.
Definicja Zdefiniujemy funkcje lokalnie całkowalne oraz przestrzeń funkcyjną Niech będzie zbiorem otwartym i niech będzie funkcją mierzalną względem miary Lebesgue’a. Funkcję nazwiemy lokalnie całkowalną, jeśli dla każdego zbioru zwartego całka Lebesgue’a jest skończona, czyli
Zbiór wszystkich takich funkcji oznaczymy . Jeśli utożsamimy ze sobą te funkcje z które są równe prawie wszędzie, to otrzymamy w ten sposób przestrzeń unormowaną .
Równoważna definicja wypływa z teorii dystrybucji:
gdzie oznacza przestrzeń funkcji mierzalnych z do (ściślej: klas równoważności funkcji mierzalnych, które są równe prawie wszędzie), a jest przestrzenią funkcji testowych.
Przykłady Funkcja charakterystyczna nieograniczonego zbioru jest lokalnie całkowalna, ale nie jest całkowalna. Wszystkie funkcje ciągłe są lokalnie całkowalne. Wszystkie funkcje z przestrzeni są lokalnie całkowalne. Funkcja dana wzorem
nie jest lokalnie całkowalna, bo nie jest całkowalna na żadnym zbiorze zwartym zawierającym
Funkcja lokalnie p-całkowalna Analogicznie do możemy zdefiniować również przestrzeń Niech będzie zbiorem otwartym lub σ-zwartym. Mierzalną w sensie Lebesgue’a funkcję nazwiemy lokalnie p-całkowalną, jeśli wyrażenie
istnieje dla ustalonego wszystkich zbiorów zwartych .
Zobacz też funkcja całkowalna
Przypisy
Linki zewnętrzne Locally integrable function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-16].
Kategoria:Analiza funkcjonalna Kategoria:Typy funkcji matematycznych