mały|222x222px|Funkcja o wahaniu nieograniczonym Funkcja o wahaniu ograniczonym – w analizie matematycznej jest to funkcja, której zmienność

jest, nieformalnie mówiąc, skończona, czyli funkcja nie oscyluje bez ograniczenia. mały|Funkcjao wahaniu nieograniczonym Przestrzeń wszystkich funkcji określonych na obszarze o wahaniu ograniczonym jest oznaczana przez mały|Funkcja o wahaniu ograniczonymPojęcie pochodzi od Camille’a Jordana.

Funkcje zmiennej rzeczywistej Definicja Całkowite wahanie dla funkcji rzeczywistej

definiujemy jako odpowiednie supremum:

które jest brane po wszystkich możliwych rozbiciach przedziału Jeśli wahanie funkcji jest skończone, to powiemy, że jest to funkcja o wahaniu ograniczonym. W przeciwnym wypadku nazwiemy funkcją o wahaniu nieograniczonym.

Definicja może być łatwo rozszerzona do opisu wahania funkcji zespolonych o argumentach rzeczywistych.

Przykład Funkcja dana wzorem dla oraz jest funkcja o wahaniu nieograniczonym. Jej wykresem jest sinusoida zagęszczona: przy malejącym do zera iloraz rośnie coraz szybciej w kierunku nieskończoności, więc sinus dla tego argumentu przejdzie przez nieskończoną liczbę oscylacji, co oznacza nieskończoną liczbę przejść od do i z powrotem do Pokazuje to obrazek u góry.

To, że funkcja ta ma wahanie nieograniczone uzasadnia się wprost z definicji: wystarczy wziąć ciąg rozbić i wtedy kolejne sumy

są równe co też, z racji możliwości wzięcia dowolnie dużego daje nieograniczoność wahania funkcji

Funkcje wielu zmiennych W przypadku funkcji wielu zmiennych, funkcjami o wahaniu ograniczonym nazywamy te funkcje, których pochodnymi w sensie dystrybucyjnymi są skończone miary Radona o wartościach wektorowych.

Definicja Niech będzie otwartym podzbiorem Funkcję nazwiemy funkcją o wahaniu ograniczonym, jeśli jej pochodna w sensie dystrybucji jest skończoną wektorową miarą Radona, czyli istnieje takie, że

Związek z krzywymi prostowalnymi Funkcja ciągła może być rozumiana jako droga w przestrzeni metrycznej Wówczas jest funkcją o wahaniu ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy jest krzywą prostowalną, czyli ma skończoną długość.

Związek z teorią miary W teorii miary, funkcje o wartościach rzeczywistych lub zespolonych o wahaniu ograniczonym są w istocie dystrybuantami miar borelowskich odpowiednio ze znakiem lub zespolonych, to jest funkcjami danymi wzorem:

dla ustalonej miary .

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Analiza matematyczna O