Hipoteza Gilbreatha – problem teorii liczb, po raz pierwszy sformułowany przez François Protha w 1878 rokuProth, F. „Sur la série des nombres premiers.” Nouv. Corresp. Math 4, 236-240, 1878., podał on również jej dowód, jednak okazał się on błędny. Niezależnie od niego hipoteza została sformułowana w XX wieku przez Normana Gilbreatha i do tej pory pozostaje nieudowodniona.
Obserwacja Rozważmy ciąg liczb pierwszych:
Obliczając wartość bezwzględną różnic kolejnych elementów ciągu, otrzymujemy ciąg:
Powtarzając operację dla powyższego ciągu, dostajemy:
Jak widzimy, po kilku iteracjach za każdym razem otrzymujemy ciąg, którego pierwszym elementem jest 1. Naturalnym pytaniem jest, czy dzieje się tak dla dowolnie wielu iteracji.
Sformułowanie hipotezy Niech oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych. Możemy z nim stowarzyszyć ciąg gdzie
Mając ciąg określamy ciąg przyjmując
Hipoteza Gilbreatha stanowi, że dla każdej liczby naturalnej
Problem pozostaje nierozwiązany do dzisiaj, choć w 1993 roku Andrew Odlyzko sprawdził ją dla .
Przypisy
Linki zewnętrzne
[dostęp 2024-03-07].
Gilbreatha Kategoria:Otwarte problemy teorii liczb