Równanie diofantyczne – równanie postaci:
gdzie jest -argumentową funkcją i którego rozwiązania szuka się w dziedzinie liczb całkowitych lub rzadziej wymiernych. Jeżeli jest wielomianem ze współczynnikami całkowitymi, to takie równanie nazywamy algebraicznym równaniem diofantycznym.
Definicja. Równanie jak wyżej nazywamy także: liniowym równaniem diofantycznym, jeśli funkcja jest funkcją liniową; wykładniczym równaniem diofantycznym, jeśli przynajmniej jedna ze zmiennych (ze względu na które to, rozwiązujemy dane równanie) występuje w tym równaniu jako wykładnik pewnej potęgi.
Przykłady równań diofantycznych We wszystkich poniższych równaniach, jeśli nie zostało powiedziane inaczej, przyjmujemy, że każda z liter , oraz oznacza pewną zmienną (i w tych zmiennych, szukamy dla tych równań ich rozwiązań); a wszelkie pozostałe litery niech oznaczają pewne stałe parametryczne.
Standardowe liniowe równanie diofantyczne; jest ono powiązane także z tzw. tożsamością Bézouta.Przy wartości , równanie to obrazuje pewną zależność pomiędzy długościami boków w trójkącie prostokątnym (zob. twierdzenie Pitagorasa). Z kolei dla , równanie to nie ma ani jednego rozwiązania w liczbach — mówi o tym twierdzenie nazywane wielkim twierdzeniem Fermata.Równanie to ma w liczbach naturalnych (tzn. jeśli żądamy: ) dokładnie jedno rozwiązanie: Równanie to ma w liczbach naturalnych () dokładnie dwa rozwiązania takie, że ; są nimi: oraz Równanie takiej postaci jest nazywane równaniem Pella (nazwa ta pochodzi od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; chociaż sam Pell nie zajmował się wprawdzie takimi równaniami). Jeżeli jest kwadratem (pewnej) liczby naturalnej, to równanie takie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych (). Jeśli zaś nie jest kwadratem liczby naturalnej, to równanie takie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązania takie można odpowiednio stabelaryzować, w zależności od wartości Na potrzeby omówienia tego równania przyjmujemy inaczej, niż zostało powiedziane na wstępie: w równaniu tym, wszystkie z oznaczeń , , będą u nas oznaczać zmienne. To równanie diofantyczne jest warunkiem istnienia tak zwanej pętli pierwszego stopnia w ciągu Collatza-Ulama (zob. problem Collatza). Równanie to posiada tylko jedno rozwiązanie: ; które odpowiada występowaniu pętli trywialnej, w tym właśnie ciągu.
Typowe problemy Badając dane równanie diofantyczne, staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania: Czy ma ono rozwiązania? Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)? Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?
W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przez długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat.
Ogólna charakterystyka Jednym z podstawowych problemów teorii równań diofantycznych jest znalezienie efektywnych sposobów wyznaczenia rozwiązań danego równania. Okazało się, że nie istnieje algorytm, który w każdym przypadku prowadziłby do rozwiązania równania diofantycznego. Znane są tylko algorytmy rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych wielu zmiennych oraz pewnych szczególnych przypadków równań wyższych stopni.
Często nie potrafimy odpowiedzieć na podstawowe pytania: czy dane równanie diofantyczne ma choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest skończona, czy jest ich nieskończenie wiele?
Stale używanym narzędziem teorii równań diofantycznych (i w ogóle w teorii liczb) jest stworzona przez Gaussa teoria kongruencji. Kongruencja to przystawanie liczb „modulo ”: liczby i przystają modulo jeżeli ich różnica dzieli się bez reszty przez co zapisuje się:
Klasycznym przykładem równania diofantycznego, rozwiązanego przez samego Diofantosa (to od jego nazwiska ukuto nazwę tego działu matematyki; Diofantosa interesowały rozwiązania w liczbach wymiernych, a nie naturalnych), jest problem trójkątów pitagorejskich. Szukamy rozwiązań w liczbach naturalnych równania: Przykładowe rozwiązania to następujące trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13),... Rozwiązania niebędące wielokrotnościami innych rozwiązań to tzw. „rozwiązania właściwe” lub trójkąty pitagorejskie, właściwe. Nieskończoną serię takich rozwiązań uzyskała już szkoła Pitagorasa.
Wszystkie rozwiązania właściwe równania Pitagorasa w liczbach naturalnych można uzyskać ze wzorów podanych przez Diofantosa: gdzie to liczby naturalne, przy czym Jeśli i są względnie pierwsze, o różnej parzystości, to uzyskuje się rozwiązania właściwe. W ten sposób można uzyskać wszystkie rozwiązania właściwe.
Liczby zespolone pozwalają określić trójkąt pitagorejski jako gdzie jest liczbą zespoloną, o całkowitej części rzeczywistej i urojonej, i o całkowitym module
Istnieje też geometryczna konstrukcja Vogelera umożliwiająca znajdowanie trójkątów pitagorejskich, ale nie ma znaczenia praktycznego. Sposób Vogelera pozwala również skonstruować wszystkie ułamki pitagorejskie: każda znaleziona trójka pitagorejska generuje trzy następne.
Metody rozwiązywania Podstawowe metody Metoda dekompozycji Polega na przekształceniu równania z postaci:
do postaci:
gdzie i
Następnie liczbę rozkładamy na czynników pierwszych. Każdy taki rozkład daje układ równań postaci:
Suma zbioru rozwiązań tych układów daje zbiór rozwiązań równania
Przykład Rozważmy równanie:
I przekształćmy je w następujący sposób:
Odpowiada to dwóm możliwościom:
co daje rozwiązanie: lub
Rozwiązania z wykorzystaniem nierówności Metoda polega na ograniczeniu przestrzeni potencjalnych rozwiązań równania do skończonego zbioru.
Przykład Szukamy wszystkich par liczb całkowitych spełniających równanie:
Po pierwsze, rozwiązaniem powyższego równania są wszystkie pary postaci Teraz rozważmy takie rozwiązania, że wtedy równanie możemy podzielić obustronnie przez
i przekształcić do postaci:
Z tego wynikają nierówności i ograniczające położenie niewiadomych do przedziału Ponieważ rozpatrujemy rozwiązania w dziedzinie liczb całkowitych, daje to dziewięć potencjalnych rozwiązań. Poprzez sprawdzenie każdej możliwości z osobna możemy pokazać, że rozwiązaniami są pary:
Metoda parametryczna W niektórych przypadkach zbiór rozwiązań równania można opisać jako:
gdzie są -argumentowymi funkcjami o wartościach całkowitych i Metoda parametryczna jest często wykorzystywana w sytuacjach, gdy nie jest możliwe pokazanie explicite wszystkich rozwiązań równania, ponieważ jest ich nieskończenie wiele.
Przykład Określić w podanej wyżej postaci nieskończenie wiele rozwiązań poniższego równania:
Rozważmy podzbiór rozwiązań takiej postaci, że w ten sposób otrzymujemy równanie:
Biorąc i powyższe równanie jest spełnione. W ten sposób otrzymujemy rodzinę rozwiązań w postaci:
Zobacz też równanie diofantyczne (automatyka) zbiór diofantyczny
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Apoloniusz Tyszka, Jak rozwiązać równanie diofantyczne o skończonej liczbie rozwiązań całkowitych? (PDF), rocznik „Matematyka – Społeczeństwo – Nauczanie”, Ośrodek Kultury Matematycznej – Uniwersytet w Siedlcach (OKM UwS) [dostęp 2026-02-09]. Jonathan Pila, D is for Diophantine Equations , Oxford University Mathematical Institute, maths.ox.ac.uk, 7 czerwca 2022 [dostęp 2023-05-29]. [dostęp 2024-02-02]. Diophantine equations, solvability problem of , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].