mały|360px|Przykład przekroju Dedekinda konstruującego pierwiastek kwadratowy z dwójki
Przekrój Dedekinda – para podzbiorów porządku liniowego wyznaczająca cięcie w tym zbiorze. Inna używana nazwa tego pojęcia to cięcie Dedekinda.
Pojęcie to było wprowadzone przez niemieckiego matematyka Richarda Dedekinda w 1872R. Dedekind: Stetigkeit und Irrationale Zahlen, 1872. Tłumaczenie angielskie tego tekstu jest zawarte także w Essays on the Theory of Numbers, tłumaczenie i edycja: W.W. Beman, W.W., Dover 1901, 1963. w celu skonstruowania liczb rzeczywistych. Jak Dedekind sam napisał: w każdym przypadku kiedy mamy przekrój nieodpowiadający żadnej liczbie wymiernej, wyznaczamy nową liczbę niewymierną, którą można uważać za całkowicie określoną przez ten przekrój; będziemy mówić, że ta liczba odpowiada przekrojowi lub że produkuje ona ten przekrój.
Definicja Niech będzie porządkiem liniowym. Przekrojem Dedekinda zbioru nazywa się każdą taką parę złożoną z niepustych podzbiorów zbioru że:
jeżeli oraz to
Zbiór nazywany jest klasą dolną, a zbiór klasą górną przekroju.
Rodzaje przekrojów Przypuśćmy, że jest przekrojem Dedekinda w porządku liniowym Wówczas ma miejsce jedna z następujących możliwości: zbiór zawiera element największy, a zbiór ma element najmniejszy, zbiór ma element największy, ale w zbiorze nie istnieje element najmniejszy, w zbiorze nie ma elementu największego, ale w zbiorze istnieje element najmniejszy, ani zbiór nie ma elementu największego ani zbiór nie ma elementu najmniejszego,
W przypadku pierwszym mówi się, że przekrój wyznacza skok, a w ostatnim przypadku mówimy, że wyznacza on lukę. W porządkach gęstych nie występują skoki, a w porządkach ciągłych wszystkie przekroje Dedekinda są albo drugiego albo trzeciego rodzaju.
Zobacz też aksjomat ciągłości konstrukcje liczb rzeczywistych
Przypisy
Kategoria:Porządki Kategoria:Liczby rzeczywiste