Szereg geometryczny – szereg postaci gdzie
jest pierwszym wyrazem szeregu geometrycznego, a – ilorazem szeregu geometrycznego.
Sumy częściowe Wzór Jeśli szereg geometryczny ma iloraz to suma częściowa jego początkowych wyrazów wynosi: . Dowód Rozpatrzmy 2 przypadki: Niech szereg geometryczny ma iloraz . Wówczas , a z definicji ciągu geometrycznego , stąd: .Mnożąc obie strony przez , otrzymujemy .Odejmując stronami pierwsze równanie od drugiego otrzymujemy .Wyłączając wspólny czynnik: .Ponieważ , można podzielić obie strony przez . Otrzymujemy: . Niech szereg geometryczny ma iloraz . Wówczas . Łącząc oba przypadki: , q.e.d.
Zbieżność szeregów geometrycznych Warunek równoważny Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy lub Wówczas suma szeregu dana jest wzorem
Dowód Jeśli to gdyż Jeśli to dla każdego zachodzi: więc a zatem Od teraz załóżmy, że Jeśli to i na mocy kryterium d’Alemberta szereg jest rozbieżny. Jeśli to Jeśli to wyraz ogólny szeregu jest postaci Zatem
Stąd gdy liczba jest nieparzysta oraz gdy liczba jest parzysta. Zatem granica nie istnieje.
Przykład mały|Suma przykładowego szeregu geometrycznego:
W nieskończonym szeregu geometrycznym
iloraz jest równy zaś Wobec tego zgodnie z powyższym twierdzeniem
Wynik ten obrazuje załączona grafika.
Zobacz też szereg funkcyjny
Linki zewnętrzne Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-23]: Wprowadzenie do szeregów geometrycznych, 16 sierpnia 2021. Suma szeregu geometrycznego – ćwiczenie, 28 stycznia 2017. Rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy – zastosowanie szeregu geometrycznego, 1 maja 2017. Rozwinięcie ln(1-x) w szereg potegowy – całkowanie szeregu geometrycznego, 1 maja 2017. Przykłady zbieżnych i rozbieżnych szeregów geometrycznych, 2 września 2017. Nieskończone szeregi geometryczne: kozłująca piłka, 4 września 2017. Szeregi geometryczne i notacja sigma, 15 października 2017. Ułamek dziesiętny okresowy jako szereg geometryczny, 17 października 2017. Zadanie z szeregiem geometrycznym: górska wędrówka, 30 sierpnia 2021. Jacek Dymel, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-27]: Co to jest szereg geometryczny?; Rozpoznawanie szeregów geometrycznych; Szeregi geometryczne w równaniach; Szeregi geometryczne w nierównościach; Szeregi geometryczne w geometrii; Zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego zbieżnego w zadaniach z funkcjami; Zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego zbieżnego w różnych zadaniach.
[dostęp 2024-06-23].
geometryczny