mały|James Maynard (2013) – laureat Medalu Fieldsa z 2022 roku, znany przede wszystkim dzięki poprawieniu wyniku Zhang Yitanga i tym samym dowiedzenia, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych oddalonych od siebie o nie więcej niż 600
Teoria sit – dział matematyki, konkretniej teorii liczb, korzystający z rozbudowanego aparatu pojęć i twierdzeń, opartego na sformalizowanej definicji sita. Choć teoria sit uchodzi za poddziedzinę analitycznej teorii liczb, jej podstawy oparte są na elementarnych spostrzeżeniach. Analityczną część stanowi jedynie operowanie pojęciami takimi, jak gęstość zbioru oraz wypracowywanie wyników będących szacowaniami zamiast tożsamościami.
Głównym przedmiotem badań teorii sit są zbiory przesiewane (ang. sifted sets) będące pewnymi podzbiorami zbioru liczb naturalnych (np. zbiór liczb pierwszych).
Choć nowe podejście umożliwiło otrzymanie wcześniej niespotykanych wyników w teorii liczb, to jednak bez wprowadzania dodatkowych modyfikacji teoria sit nie jest w stanie samodzielnie wykazać efektywnych szacowań z dołu, a jedynie z góry. Problem ten znany jest jako problem parzystości (ang. parity problem) – odnosi się to do sytuacji, w której sito nie jest w stanie odróżnić liczb pierwszych od liczb półpierwszych. Terrence Tao na swoim blogu opisał go następująco.
Pomimo istnienia problemu rozwój badań pozwolił na wyeliminowanie liczb półpierwszych w pewnych szczególnych przypadkach. Po raz pierwszy dokonali tego John Friedlander oraz Henryk Iwaniec, konstruując sito wyczulone na parzystość (ang. parity-sensitive sieve).
W ciągu ostatnich kilkunastu lat rozwój teorii sit skoncentrowany jest przede wszystkim na opracowywaniu nowych metod mających pozwolić wykazać m.in. hipotezę liczb pierwszych bliźniaczych.
Podstawy teorii sit Oznaczenia Naśladując literaturę, wprowadzamy następujące oznaczenia:
oznaczają odpowiednio sumę i iloczyn po liczbach pierwszych, mniejszych lub równych oznaczają odpowiednio sumę i iloczyn po całkowitych dodatnich dzielnikach oznacza -tą liczbę pierwszą, oraz oznaczają odpowiednio największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność liczb i oznacza funkcję Möbiusa, oznacza tocjent Eulera, oznacza funkcję von Mangoldta, równą dla ( – liczba pierwsza) oraz 0 w przeciwnym wypadku, dla będących liczbami pierwszymi oraz 0 w przeciwnym wypadku, oznacza liczbę liczb pierwszych mniejszych lub równych oznacza liczbę liczb pierwszych mniejszych lub równych przystających do mod
oznacza logarytm naturalny z i oznacza notację dużego O i małego o.
Podstawowe definicje Zasadnicza decyzja o przedmiocie badań polega na wyborze zbioru o elementach będących liczbami naturalnymi. Ponadto wybiera się zbiór o wyrazach w ciągu oraz zbiór będący pewnym wybranym podzbiorem zbioru liczb pierwszych i nazywany obszarem odsiewania (ang. sifting range).
Wprowadzamy oznaczenie
tzn. jest iloczynem elementów mniejszych od Głównym celem teorii sit jest oszacowanie funkcji odsiewania (ang. sifting function)
Najczęściej za zbiór przyjmuje się zbiór wszystkich liczb pierwszych, a ciąg jest tożsamościowo równy 1. Wówczas funkcja podaje liczebność zbioru składającego się z elementów mniejszych lub równych i względnie pierwszych z
Uwaga: W przypadku, w którym wszystkie wyrazy są równe 1, czasami – w celu podkreślenia tego faktu – zamiast zapisujemy po prostu .
Historia Prekursorem wykorzystywania sit w celu analizy rozmieszczenia liczb pierwszych był Eratostenes. Sito Eratostenesa jest pierwszym opisanym algorytmem wyróżniającym ze zbioru liczb naturalnych jedynie liczby pierwsze.
Sito Legendre’a Adrien-Marie Legendre zmodyfikował pierwotny pomysł Eratostenesa wykorzystując zasadę włączeń-wyłączeń. Jeżeli przez oznaczymy podzbiór zbioru o wszystkich elementach podzielnych przez to
Jeśli oznacza funkcję Möbiusa, to powyższą równość możemy uprościć do postaci
znanej jako tożsamość Legendre’a.
Sito Legendre’a jest w stanie zapewnić nietrywialne oszacowania zarówno z góry (jeśli w pierwszej sumie uwzględnimy nieparzyście wiele składników, a resztę pominiemy), jak i z dołu (jeśli uwzględnimy parzyście wiele składników).
Sito Bruna Choć wyniki Legendre’a prowadziły do nietrywialnych szacowań, to jednak w dalszym ciągu napotykały w pewnych zagadnieniach na problemy paraliżujące dalszą pracę. Viggo Brun w swojej pracy postanowił porzucić cel znajdowania zależności asymptotycznych na rzecz otrzymania nietrywialnych ograniczeń z góry i z dołu. Sformalizowanie jego pomysłów zaowocowało przede wszystkim w dowodzie zbieżności szeregu odwrotności liczb pierwszych bliźniaczych oraz twierdzenia o istnieniu nieskończenie wielu liczb pierwszych dla których składa się z co najwyżej 7 dzielników pierwszych. mały|Atle Selberg
Rozwój sit kombinatorycznych Sita takie jak Bruna nazywamy kombinatorycznymi. Charakteryzują się one większą efektywnością oszacowań przy niewielkiej liczbie odsiewanych elementów w stosunku do wielkości zbioru Najbardziej nowatorską częścią teorii sit kombinatorycznych było wprowadzenie zbiorów wag i oraz, z ich wykorzystaniem, wprowadzenie odpowiednich funkcji i takich, że
Znaczący wpływ na rozwój sit kombinatorycznych miał Atle Selberg. Dla sita nazwanego przez Selberga sitem (dziś nazywanym jego nazwiskiem) punkt wyjścia rozważań stanowiła tożsamość
która pozwalała przepisać funkcję do postaci
Selberg definiuje wagi tak, aby oraz dla wszystkich W ten sposób gwarantuje prawdziwość nierówności
dzięki której może wyprowadzić treść swojego twierdzenia.
Duże sito Linnika Dalszy rozwój teorii sit pozwolił zrezygnować z restrykcji co do wielkości zbioru odsiewanego. Jurij Linnik, motywowany problemem wyznaczenia najmniejszych niereszt kwadratowych, sformułował pierwsze twierdzenie podejścia znanego później jako metody dużego sita. Zakładając, że z danego zbioru liczb naturalnych usuwamy wszystkie liczby należące do dokładnie różnych klas reszt mod dla pewnego zbioru liczb pierwszych nierówność uzyskana przez Linnika była efektywna, gdy stosunek do był nie większy niż 1/2.
Większe sito Gallaghera W artykule z 1971 r. Patrick X. Gallagher scharakteryzował większe sito (ang. larger sieve) jako prostą metodą pozwalającą otrzymać nietrywialne szacowania bez konieczności, aby liczba usuwanych klas reszt była nie większa niż 1/2. Nierówność większego sita pozwala, aby wartości były znacznie mniejsze niż u Linnika. Dodatkowo, wartości nie musiały się ograniczać do liczb pierwszych, mogły być ich pewnymi potęgami.
Jeśli zbiór wszystkich jak wyżej oznaczymy przez a długość przedziału – jedynym warunkiem wymaganym przez sito Gallaghera jest nierówność
gdzie oznacza tu funkcję von Mangoldta. Jeśli jest ona prawdziwa, to liczba liczb nieodsianych jest nie większa niż
Sito Goldstona-Pintza-Yıldırıma Dan Goldston, János Pintz oraz Cem Yıldırım rozwinęli teorię sita Selberga tak, aby móc efektywnie szacować liczbę liczb pierwszych w -krotkach. Definiujemy
jako odpowiednią krotkę i przyjmujemy
Sito Goldstona-Pintza-Yıldırıma opiera swoją teorią na celu oszacowania sumy
gdzie jest jak w oznaczeniach. Znak sumy jest istotny, ponieważ dla ustalonego wyrażenie pod sumą jest dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją różne takie, że i to równocześnie liczby pierwsze. Nowatorskie podejście matematyków wkrótce utrwaliło się w literaturze jako metoda GPY.
Najczęściej wykorzystywane sita Sito Selberga Konstrukcja sita Selberga opiera się na założeniu, że znamy liczebność zbiorów w stosunku do liczebności Jeśli jest funkcją całkowicie multiplikatywną taką, że
a funkcja spełnia zależność
to
gdzie funkcja dana jest przez
Współcześnie zwykle sito Selberga wymaga gruntownych modyfikacji wag Do najczęściej spotykanych należą tzw. sita wielowymiarowe (ang. multidimensional sieve).
Duże sito Współcześnie przez duże sito (ang. large sieve) rozumiemy różnego rodzaju twierdzenia rozwijane po pracach Linnika. Za jeden z klasycznych wyników uznaje się twierdzenie Bombieriego, Davenporta i Montgomery’ego.
Niech będzie zbiorem liczb naturalnych Dodatkowo, oznaczmy przez liczebność zbioru
(tzn. dla każdego będącego dzielnikiem usuwamy dokładnie różnych klast reszt mod ). Wówczas zachodzi nierówność
gdzie:
Znaczące wyniki mały|Viggo Brun
Twierdzenie Bruna Wynik Viggo Bruna z 1919 r. należał do pierwszych znaczących rezultatów teorii sit oraz miał ogromny wpływ na jej intensywny dalszy rozwój. Brun wykazał, że szereg odwrotności liczb pierwszych bliźniaczych jest zbieżny.
Niech oznacza liczbę liczb pierwszych takich, że jest również liczbą pierwszą. Brun wykazał, że
a dzięki temu ograniczeniu udowodnił, że istnieje stała taka, że
Stała (A065421 w OEIS) jest nazywana stałą Bruna.
Nierówność Bruna-Titchmarsha Nierówność uzyskana przez Viggo Bruna i Edwarda Charles’a Titchmarsha pozwoliła odgórnie ograniczyć ilość liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Nierówność ta mówi, że
dla wszystkich . Pierwotny wynik wymagał dodatkowego uwzględnienia czynnika ale w późniejszych pracach Hugh Montgomery i Robert Vaughn byli w stanie go wyeliminować korzystając z technik dużego sita. Chowla, Motohashi i Siebert zaznaczają, że wszelkie postępy w zmniejszaniu wartości stałej 2 implikowałyby nieistnienie zer Siegela (potencjalnych kontrprzykładów dla uogólnionej hipotezy Riemanna).
Twierdzenie Chena mały|Chen Jingrun Twierdzenie Chena, udowodnione w 1973 r., stanowi ogromny postęp metod sit w kierunku hipotezy Goldbacha. Twierdzenie mówi, że każda dostatecznie duża liczba parzysta może być zapisana w postaci sumy dwóch liczb pierwszych lub liczby pierwszej oraz liczby półpierwszej.
Chen Jingrun poprawił wcześniejszy wynik Alfreda Rényi, który udowodnił, że istnieje stała taka, że każda dostatecznie duża liczba parzysta może być zapisana w postaci sumy liczby pierwszej oraz liczby będącej iloczynem co najwyżej liczb pierwszych.
Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa Rozwój metod sit doprowadził do wielu znaczących udoskonaleń wyników pierwotnie znanych jako twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych w ciągach arytmetycznych. Klasycznym wynikiem teorii sit w tym zakresie jest twierdzenie Enrico Bombieriego i Iwana Winogradowa, którzy opublikowali prace o powiązanej z problemem hipotezie gęstości w 1965 r.
Twierdzenie mówi, że jeśli oraz są dowolnymi stałymi, a spełnia nierówności
to prawdziwa jest zależność
Ten rezultat był wzmocnieniem oryginalnych wyników Marka Barbana z 1961 r.
Rezultat Goldstona-Pintza-Yıldırıma W 2005 r. Goldston, Pintz i Yıldırım wykazali, że
gdzie oznacza n-tą liczbę pierwszą. Dodatkowo, wykazali, że jeśli hipoteza Elliotta-Halberstama jest prawdziwa, to
Ograniczone różnice między liczbami pierwszymi mały|Zhang Yitang Zhang Yitang w 2013 r. znacząco udoskonalił wynik Goldstona, Pintza i Yıldırıma, ponieważ udowodnił, że istnieje stała taka, że
Choć wynik Zhanga dla stałej można było łatwo poprawić i uzyskać mniejsze wartości, był to pierwszy taki wynik w historii oraz ogromny krok w stronę udowodnienia hipotezy liczb pierwszych bliźniaczych.
Znaczące postępy w zmniejszaniu wartości należą do Jamesa Maynarda, który w 2013 r. udowodnił, że nierówność zachodzi dla . Najlepszymi znanymi jak dotąd wynikami są (udowodnione bezwarunkowo) oraz (przy założeniu prawdziwości uogólnionej hipotezy Elliotta-Halberstama).
Ogólniej, dla liczby całkowitej oznaczmy
(tzn. jest minimalną wartością różnicy -tej liczby pierwszej i -tej liczby pierwszej, osiąganą nieskończenie wiele razy). Znane są następujące wyniki. + (wykazane bezwarunkowo) (zakładając hipotezę EH) (zakładając uogólnioną hipotezę EH)1246 –62398 130270252324 797 81452 116 –41 431 556 072474 266 –580 550 202 4804 137 854 – – Przy tym stała jest efektywna.
Twierdzenie Friedlandera-Iwańca mały|John Friedlander (2008) – kanadyjski matematyk, profesor Uniwersytetu Toronto oraz MIT, specjalista z zakresu analitycznej teorii liczb oraz teorii sit, znany przede wszystkim ze wspólnej pracy z Henrykiem Iwańcem.