mały|Przykład charakteru Dirichleta W analitycznej teorii liczb funkcja arytmetyczna nazywana jest charakterem Dirichleta modulo , jeśli dla ustalonej liczby naturalnej i wszystkich liczb całkowitych spełnia warunki:

tzn. jest całkowicie multiplikatywna. jeśli oraz jeśli gdzie oznacza największy wspólny dzielnik i – ma okres

Najprostszym przykładem charakteru Dirichleta jest charakter pryncypialny, zadany przez

Najczęściej jest on zapisywany jako .

W ogólności, dla każdej liczby całkowitej istnieje dokładnie (tocjent) różnych charakterów Dirichleta mod . Są to (lub ) dane przez dla pewnej liczby całkowitej zależnej od , i dla oraz dla .

Przykłady Dla istnieje 6 różnych charakterów mod 7. + Tutaj .

Własności

Przystawanie Własnością oczywistą (wynikającą z okresowości) jest fakt, że jeśli , to

.

Twierdzenie odwrotne niekoniecznie musi być prawdziwe.

Tocjent Jeśli , to z twierdzenia Eulera wiadomo, że , więc

.

Ortogonalność Charakterów Dirichleta dotyczą dwie relacje ortogonalności,

oraz

.

Ponadto, tożsamością wykorzystywaną najczęściej w dowodach twierdzeń jest

Wykorzystanie Ze względu na swoje własności, charaktery Dirichleta wykorzystywane są najczęściej w problemach dotyczących liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych.

Funkcje L Dirichleta

Ogromny wpływ na rozwój analitycznej teorii liczb mają funkcje L Dirichleta. Definiuje się je jako szereg

dla danego charakteru i wszystkich liczb zespolonych na półpłaszczyźnie oraz jako rozszerzenie analityczne powyższej funkcji na reszcie płaszczyzny zespolonej. Każda funkcja L Dirichleta ma także swój iloczyn Eulera

.

Twierdzenie Siegela-Walfisza

Twierdzenie Siegela-Walfisza mówi o liczbie liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Na potrzeby dowodu, definiuje się funkcję

.

Dzięki relacji ortogonalności powyższa funkcja jest związana z drugą funkcją Czebyszewa równaniem

.

Twierdzenie mówi, że dla każdej stałej istnieje liczba taka, że dla i dowolnego niepryncypialnego charakteru zachodzi

.

Przypisy

Kategoria:Analityczna teoria liczb Kategoria:Funkcje arytmetyczne Kategoria:Analiza zespolona