Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa – jedno z najważniejszych twierdzeń teorii ergodycznej. Opisuje zachowanie średnich wartości funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a przy stosowaniu na danej zmiennej przekształcenia ergodycznego. Nosi nazwisko George’a D. Birkhoffa.
Treść twierdzenia Niech będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech będzie przekształceniem zachowującym miarę ( dla wszystkich ) i ergodycznym (jeśli , to lub ). Wówczas, dla dowolnej funkcji
dla -prawie wszystkich (tzn. że zbiór które nie spełniają powyższego warunku, ma miarę równą 0).
Motywacja Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa ma zastosowanie przy wielu problemach. Przedstawmy kilka przykładów. Zakładamy, że jest przestrzenią probabilistyczną, a zachowuje miarę.
Niech będzie pewnym zbiorem, który chcemy analizować. Dla ile spośród elementów zbioru będzie należeć do ? Rozważmy będące okręgiem jednostkowym i przekształcenie dla liczby niewymiernej Jak wówczas zachowują się wartości przy ? Twierdzenie Borela o liczbach normalnych. Prawie wszystkie liczby z przedziału są normalne w systemie binarnym, tzn. częstość występowania cyfry 1 w ich rozwinięciach wynosi
Przekształcenia jednoznacznie ergodyczne Przekształcenie nazwiemy jednoznacznie ergodycznym (ang. uniquely ergodic), jeśli istnieje dokładnie jedna miara którą zachowuje. Udowodnienie, że jest przekształceniem jednoznacznie ergodycznym pozwala z twierdzenia Birkhoffa wyeliminować warunek -prawie wszystkich elementów i zastąpić go wszystkimi
Twierdzenie. Niech będzie przestrzenią probabilistyczną i niech Przekształcenie jest jednoznacznie ergodyczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna miara dla której jest przekształceniem zachowującym miarę i taka, że dla dowolnej funkcji zachodzi
dla wszystkich
Przypisy
Linki zewnętrzne Michał Szostakiewicz, Układy dynamiczne i rachunek prawdopodobieństwa (PDF), rocznik „Matematyka – Społeczeństwo – Nauczanie”, Ośrodek Kultury Matematycznej – Uniwersytet w Siedlcach (OKM UwS) [dostęp 2026-02-09].
Kategoria:Teoria ergodyczna Kategoria:Twierdzenia matematyczne