Teoria ergodyczna (stgr. εργον, ergon – "praca", οδος, odos – "droga") jest dziedziną matematyki zajmującą się ergodycznymi układami dynamicznymi. W najszerszym rozumieniu, teoria ergodyczna zajmuje się analizą jakościową działań grupowych na przestrzeniach (takich jak topologiczne, metryczne czy rozmaitości). Ważne jest, aby każde działanie zachowywało konkretną strukturę przestrzeni.
Historia Pojęcie "ergodyczności" jako pierwszy wprowadził Boltzmann, aby opisać hipotezę dotyczącą działania na powierzchni energii potencjalnej. Niech będzie hamiltonianem, typem występującym w mechanice statystycznej. jest wówczas powierzchnią energii. Oznaczając przez stan punktu układu po czasie , Boltzmann przypuszczał, że dla każdego i orbita będzie równa całej powierzchni. Zdanie to nazwał hipotezą ergodyczną. Hipoteza ta okazała się jednak być fałszywa.
W matematyce, pierwsze twierdzenia bliskie ogólnym wynikom ergodycznym dotyczyły rozmieszczenia ciągu (część ułamkowa) dla niewymiernej w przedziale . Powiemy, że jest rozmieszczony jednostajnie na , jeśli dla dowolnych , zachodzi
.
W latach 1909–1910 Bohl, Sierpiński i Weyl udowodnili niezależnie od siebie jednostajne rozmieszczenie ciągu . Pierwsze dowody były elementarne, korzystały jedynie z analizy fourierowskiej. Niedługo później, w 1916 Weyl sformułował twierdzenie mówiące, że dowolny ciąg o wyrazach w przedziale jest rozmieszczony jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej funkcji , całkowalnej w sensie Riemanna zachodzi
.
Twierdzenie to ma faktyczny charakter ergodyczny – szereg po lewej stronie możemy traktować jako "średnią w czasie", a całkę po prawej jako "średnią w przestrzeni". Funkcja ma okres równy 1. Zgodnie z teorią Fouriera, każdą funkcję okresową można wyrazić jako kombinacja liniowa specjalnych funkcji okresowych dla . Weyl skorzystał z tej obserwacji, aby poprzedni warunek zastąpić przez
dla dowolnego . Powyższe pozwoliło mu udowodnić kolejne twierdzenie.
Twierdzenie (Weyla o jednostajnym rozmieszczeniu wielomianów). Niech będzie danym wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Jeśli przynajmniej jeden ze współczynników jest niewymierny, to ciąg jest rozmieszczony jednostajnie na .
W 1931 r. Koopman opublikował krótki artykuł o znaczących obserwacjach. Jeśli jest odwracalne i zachowuje miarę w przestrzeni , to operator zdefiniowany na (przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem) poprzez jest unitarny. Halmos pisze:
Twierdzenia ergodyczne
Twierdzenie Birkhoffa
Jeśli jest układem ergodycznym, to dla dowolnej funkcji zachodzi
dla prawie wszystkich .
Średnie twierdzenie ergodyczne (von Neumanna) Jeśli jest układem ergodycznym, a jest ortogonalną projekcją na podprzestrzeń
,
to dla dowolnej funkcji zachodzi zbieżność w normie ,
przy .
Zastosowania
Teoria liczb Teoria ergodyczna znajduje wiele zastosowań w analizie klasycznych i nowych problemów teorii liczb.
W opublikowanym w 2018 r. artyklue Bartnicka, Kasjan, Kułaga-Przymus i Lemańczyk ogłosili wynik dotyczący powtarzania się "bloków" w tzw. zbiorach liczb B-wolnych. Wyniki te powstały jako rozszerzenie programu Sarnaka, który początkowo obejmował jedynie dynamiczną analizę liczb bezkwadratowychP. Sarnak, Three lectures on the Möbius function, randomness and dynamics. http: //publications.ias.edu/sarnak/.. W 2020 r. Kułaga-Przymus i Lemańczyk przedstawili hipotezę Chowli i Sarnaka z perspektywy teorii ergodycznej.
Przypisy
Kategoria:Teoria ergodyczna