Hipoteza Chowli jest problemem otwartym z dziedziny teorii liczb. Hipoteza dotyczy zachowania funkcji Möbiusa na przedziałach kolejnych liczb całkowitych, dla będącego liczbą naturalną. Została sformułowana przez Sarvadamana Chowlę w 1966.
W uproszczeniu hipoteza mówi, że np. dwójka dla bezkwadratowych przyjmuje wartości i „mniej więcej” tak samo często, razy.
Treść hipotezy Poniższe sformułowanie hipotezy należy do Terrence’a TaoT. Tao, The Chowla Conjecture, Dostęp 2023-12-09.. Treść można wyrazić na wiele równoważnych sposobów.
Niech będą nieujemnymi liczbami całkowitymi, z których przynajmniej jedna jest nieparzysta. Wówczas
przy
Hipotezę można równoważnie sformułować zastępując funkcję Möbiusa funkcją Liouville’a.
W najprostszym przypadku i hipoteza postuluje, że
i jest równoważna twierdzeniu o liczbach pierwszych.
Hipoteza Sarnaka Hipotezę słabszą od Chowli (implikowaną przez nią) sformułował Peter SarnakP. Sarnak, Three lectures on the Möbius function, randomness and dynamics, http://publications.ias.edu/sarnak/.. Opisuje ona zachowanie funkcji z perspektywy teorii układów dynamicznych.
Niech będzie dowolnym topologicznym układem dynamicznym, gdzie jest przestrzenią metryczną, a jest homeomorfizmem o zerowej entropii topologicznej. Wówczas, dla dowolnej funkcji i dowolnego zachodzi
przy
Wiadomo, że hipoteza Chowli jest równoważna przeformułowanej, tzw. silnej hipotezie Sarnaka.
Przypisy
Kategoria:Otwarte problemy teorii liczb