Wzór sumacyjny Eulera (ang. Euler’s summation formula) – tożsamość stosowana w analitycznej teorii liczb. Podobnie jak wzór sumacyjny Abela, pozwala on wyrazić dyskretną sumę wartości danej funkcji różniczkowalnej przez całkę. Wzór ten został przedstawiony przez Leonharda Eulera w 1736 r., a następnie uogólniony. Jest to szczególny przypadek wzoru sumacyjnego Eulera-Maclaurina.
Treść twierdzenia Niech dane będą liczby oraz funkcja różniczkowalna na przedziale Wówczas
gdzie suma po lewej stronie jest po wszystkich liczbach całkowitych a oznacza część ułamkową liczby
Dowód. Oznaczając sumę po prawej możemy wyrazić jako całkę Riemanna-Stieltjesa
Drugą z nich możemy wyrazić całkując przez części,
Stąd wynika wzór Eulera.
Przykłady Szereg harmoniczny
Niech
Udowodnimy, że
gdzie to logarytm naturalny, a to stała Eulera-Mascheroniego. Dla zachodzi
gdzie:
Zauważmy, że przy całka jest zbieżna. Dlatego możemy zapisać
gdzie To dowodzi, że
gdzie stała jest z definicji równa
To dowodzi podanej zależności.
Wzór Stirlinga
Wykażemy prawdziwość wzoru Stirlinga w postaci
dla pewnej stałcej gdzie oznacza podłogę z liczby . Skorzystamy z postaci silni jako sumy częściowej logarytmów naturalnych,
Ze wzoru sumacyjnego Eulera zachodzi
Pierwsza całka wynosi
W przypadku drugiej całki zdefiniujemy funkcję pomocniczą
Widzimy, że
W przypadku skorzystamy z całkowania przez części.
gdzie:
oraz
Ponieważ funkcja jest okresowa, z okresem 1, i to Dlatego
Dodatkowo, wynika stąd, że całka jest ograniczona z góry,
Powyższe nierówności są prawdziwe, ponieważ całka po jest zbieżna.
Łącząc uzyskane zależności, otrzymamy
Biorąc obu stron, uzyskamy wzór.
Funkcja zeta Riemanna
Udowodnimy, że funkcja zeta zdefiniowana za pomocą szeregu
dla wszystkich liczb zespolonych o części rzeczywistej spełnia zależność
Biorąc otrzymamy
Aby z lewej strony równania otrzymać funkcję Riemanna, chcemy aby Widzimy, że
Stąd
dla
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Analityczna teoria liczb