Homologie trwałe – metoda stosowana w topologicznej analizie danych (TAD), która wykorzystuje narzędzia topologii algebraicznej do badania cech strukturalnych w chmurach punktów i innych obiektach dyskretnych. Pozwala na odróżnienie istotnych cech geometrycznych zbioru danych od szumu informacyjnego poprzez badanie ich trwałości w różnych skalach odległości. .
W przeciwieństwie do klasycznej homologii, która bada właściwości ustalonej przestrzeni, homologie trwałe śledzą pojawianie się i znikanie cech topologicznych (takich jak składowe spójności, pętle czy dziury wyższych wymiarów) podczas procesu filtracji. Cechy, które utrzymują się przez szeroki zakres skali (są „trwałe”), uznawane są za reprezentatywne dla rzeczywistej struktury badanego obiektu, podczas gdy cechy krótkożyciowe traktuje się jako szum informacyjny lub artefakty próbkowania.
Intuicja Dane empiryczne są zazwyczaj reprezentowane jako skończone, dyskretne zbiory punktów w przestrzeni metrycznej. Same w sobie nie posiadają interesującej struktury topologicznej (są po prostu zbiorem punktów izolowanych czyli przestrzenią dyskretną). Aby wydobyć z nich informacje o kształcie, otacza się każdy punkt kulą o promieniu . Gdy rośnie, kule zaczynają na siebie nachodzić, tworząc coraz bardziej złożone obiekty geometryczne.
W praktyce, dla każdego parametru konstruuje się kompleks Vietorisa-Ripsa lub kompleks Čecha. Wraz ze wzrostem wartości otrzymuje się rosnącą rodzinę kompleksów symplicjalnych tworzących filtrację.
W procesie tym mogą pojawiać się i zanikać „dziury” różnych wymiarów. Przykładowo:
w wymiarze odpowiadają one składowym spójności, w wymiarze — pętlom, w wymiarze — pustym przestrzeniom, „jamom” (jak np. wnętrze sfery). Homologie trwałe śledzą moment „narodzin" (pojawienia się) i „śmierci" (zapełnienia się lub połączenia z innymi) każdej z tych „dziur" wraz ze wzrostem parametru .
Definicja Jeżeli
jest ciągiem kompleksów symplicjalnych, to włożenia indukują homomorfizmy grup homologii symplicjalnych (na ogół, dla prostoty, nad ) dla każdego wymiaru . W tej sytuacji -tymi grupami homologii trwałych są obrazy homomorfizmów tj. dla W szczególności grupa jest tożsama z .
Precyzyjniej, (tj. iloraz cykli z przez te spośród nich, które stają się brzegami w ) gdzie oraz są odpowiednio standardowymi podgrupami cykli oraz brzegów.
Mówimy, że klasa homologii rodzi się w , jeśli . Klasa ta umiera w , jeśli jest najmniejszym indeksem, dla którego oraz . Różnicę nazywamy trwałością klasy .
Przedstawienie wyników Wyniki analizy homologii trwałych przedstawia się często w jednej z dwu postaci: kod kreskowy - zbiór poziomych odcinków na osi parametru filtracji. Każdy odcinek reprezentuje jedną cechę topologiczną. Długie linie to istotna struktura, krótkie to szum. diagram trwałości - wykres punktowy, gdzie współrzędne każdego punktu to odpowiednio czas narodzin oraz śmierci. Punkty położone daleko od przekątnej reprezentują najbardziej trwałe cechy.
Przypisy
Kategoria:Topologia algebraiczna