Tożsamość Selberga, wzór asymptotyczny Selberga (ang. Selberg's identity, Selberg's asymptotic formula) – zależność asymptotyczna dotycząca liczb pierwszych, wykorzystywana w teorii liczb - szczególnie w elementarnych dowodach twierdzenia o liczbach pierwszych. Została ona udowodniona w marcu 1948 r. przez Atle Selberga i zaproponowana w artykule Paula Erdősa z 1949 r.
Treść tożsamości Wzór asymptotyczny Selberga występuje pod wieloma różnymi formami. Wśród najczęściej stosowanych występują
lub równoważnie
,
gdzie i to odpowiednio pierwsza i druga funkcja Czebyszewa, a w podanych sumach występują jedynie liczby pierwsze . Inną, rzadziej wykorzystywaną postacią, ale nie korzystającą z dodatkowych funkcji jest
.
Tożsamość dla funkcji von Mangoldta Tożsamością, która może posłużyć jako lemat w dowodzie zależności asymptotycznej, jest (również nazywana tożsamością Selberga) równość
,
gdzie oznacza funkcję von Mangoldta, a funkcję Möbiusa.
Dowód: Dla dowolnej funkcji arytmetycznej oznaczmy przez funkcję daną wzorem , gdzie czynnik, przez który funkcja jest przemnożona, to logarytm naturalny. Można wykazać, że tak zdefiniowane funkcje spełniają własności:
, , gdzie oznacza splot Dirichleta, , gdzie oznacza odwrotność Dirichleta , pod warunkiem, że .
Pierwsza równość jest oczywista, druga jest prawdziwa, ponieważ
.
Trzecia równość wynika z drugiej, ponieważ
,
więc
.
Mnożąc obie strony przez , otrzymuje się
.
Można teraz przystąpić do dowodu tożsamości. Należy tu skorzystać ze znanej tożsamości dla funkcji von Mangoldta, tzn. . Zapisując tę równość w splocie Dirichleta, , gdzie dla wszystkich . Stąd
.
Podstawiając , wzór przekształca się do
.
Obie strony mnoży się przez , żeby otrzymać
.
Powyższa jest poszukiwaną tożsamością.
Funkcja generująca Współczynniki występujące po lewej stronie tożsamości są współczynnikami szeregu Dirichleta
,
gdzie oznacza funkcję zeta Riemanna. Funkcja ta ma biegun rzędu 2 w ze współczynnikiem 2, dlatego w szacowaniu pojawia się wyrażenie .
Ogólna postać wzoru Jak pisał Atle Selberg w liście do Doriana Goldfelda z 6 stycznia 1998r., otrzymana tożsamość pokazuje, że funkcje Czebyszewa spełniają zależność postaci
.
Tożsamość Selberga miała posłużyć udowodnieniu, że . Jednak w ogólności można skonstruować kontrprzykład - niemonotoniczną funkcję , dla której powyższa zależność jest spełniona, ale .
Przypisy
Kategoria:Teoria liczb Kategoria:Tożsamości matematyczne