Twierdzenia o prędkości ewolucji stanu kwantowego – twierdzenia związane z fundamentalnymi ograniczeniami ewolucji kwantowej. W mechanice kwantowej określają minimalny czas konieczny, aby układ kwantowy mógł w drodze unitarnej ewolucji przejść pomiędzy dwoma ortogonalnymi stanami kwantowymi, znane również jako kwantowe ograniczenia prędkości.
Rozważmy wstępny, czysty stan kwantowy wyrażony jako superpozycja energetycznych stanów własnych
Jeżeli stan będzie ewoluował przez okres zgodnie z równaniem Schrödingera stanie się stanem
gdzie jest zredukowaną stałą Plancka a jest jednostką urojoną.
Jeżeli wstępny stan kwantowy jest ortogonalny do stanu po ewolucji wówczas a minimalny okres konieczny do zapewnienia tego warunku jest nazywany interwałem bądź czasem ortogonalizacji.
Twierdzenie Mandelstama-Tamma Zgodnie z twierdzeniem Mandelstama-Tamma , gdzie
jest wariancją energii układu a jest Hamiltonianem. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Leonida Mandelstama i Igora Tamma.
Dowód Szukamy najkrótszego interwału takiego, aby .
Korzystając z wzoru Eulera i faktu, że sinus jest funkcją nieparzystą mamy . Zauważamy, że , ponieważ . Zauważamy, że . Tym samym . Ponieważ więc jeżeli zatem drugi wyraz zanika dla oraz .
Jedynym stanem, dla którego powyższa nierówność jest równaniem jest kubit
o zrównoważonej superpozycji energetycznych stanów własnych oraz .
Dowód Wymagamy, aby , czyli lub . Tym samym , co zachodzi jedynie dla dwóch energetycznych stanów własnych oraz , czyli dla stanu
unikalnego z wyłączeniem degeneracji energii oraz dowolnej fazy względnej stanów własnych.
Twierdzenie Margolusa–Levitina Zgodnie z twierdzeniem Margolusa–Levitina , gdzie
jest średnią energią układu a jest operatorem operatorem Hamiltona. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Normana Margolusa i Lwa Levitina. thumb|Wykresy zależności trygonometrycznych zastosowanych w nierównościach twierdzeń Mandelstama-Tamma (zielony) i Margolusa–Levitina (niebieski)
Dowód Szukamy najkrótszego interwału takiego, że . Zauważamy, że , gdyż . Ponieważ wymaga zatem .
Jedynym stanem, dla którego powyższa nierówność jest równaniem jest kubit
o zrównoważonej superpozycji energetycznych stanów własnych oraz .
Dowód Wymagamy, aby co zachodzi dla lub , czyli jedynie dla oraz . Zatem dwie wartości własne energii to i , a jedynym stanem, który to zapewnia jest kubit o zrównoważonej superpozycji energetycznych stanów własnych i , unikalny z wyłączeniem degeneracji energii oraz dowolnej fazy względnej stanów własnych.
Inne Powiązane Twierdzenia Twierdzenia powiązane z twierdzeniami Mandelstama-Tamma i Margolusa–Levitina zostały udowodnione w 2009 przez Lwa Levitina i Tommaso Toffoliego.
Twierdzenie W przypadku, gdy interwał ortogonalizacji spełnia .
Twierdzenie Dla każdego stanu kwantowego zachodzi , gdzie jest maksymalną wartością własną tego stanu oraz . Dowód Niech . Załóżmy a contrario, że . Możemy zdefiniować . Ale wówczas . Zatem zamiana na nie zmienia , a tym samym zbiór wartości własnych energii jest ograniczony od góry. Aby udowodnić istnienie kresu dolnego na , niech średnią energią będzie . Zauważamy, że zamiana poziomów energii w na nie ma wpływu na ich ważność. Ale po takiej zamianie, średnia energia to i możemy wybrać . Zatem . Wykorzystanie kresu na z twierdzenia Margolusa–Levitina kończy dowód.
Ponadto
dla kubitu
o zrównoważonej superpozycji. Dowód Jeżeli wówczas , co zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy , oraz .
Hamiltonian kubitu o zrównoważonej superpozycji energetycznych stanów własnych
Moża wykazać, że Hamiltonian kubitu wysycającego kres dolny w powyższych twierdzeniach ma postać
i jest parametryzowany maksymalną energią systemu i nieobserwowalną fazą . Stacjonarne stany własne tego Hamiltonianu to
Zobacz też Zasada nieoznaczoności Zasada Landauera
Przypisy
Kategoria:Prawa w mechanice kwantowej Kategoria:Informatyka kwantowa Kategoria:Twierdzenia matematyczne o fizyce kwantowej