mały|Karl Weierstraß (1815–1897)
Twierdzenie Weierstrassa o kresach (znane też pod innymi nazwami) – twierdzenie analizy matematycznej i topologii o własnościach ciągłych funkcji rzeczywistych. W najprostszym przypadku jest to fakt analizy rzeczywistej o takich funkcjach na pewnych przedziałach rzeczywistych. Mówi, że jeśli przedział jest domknięty i ograniczony, to funkcja ciągła ma w nim globalne ekstrema – wartości najwyższą i najniższą, inaczej maksimum i minimum. Tej postaci twierdzenia używa się w dowodach innych faktów analizy rzeczywistej jak twierdzenie Rolle’a Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański i Halszka Tutaj-Gasińska, Wykład 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej [w:] Analiza matematyczna 1, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), wazniak.mimuw.edu.pl, 25 lipca 2024 [dostęp 2025-12-06]..
Pojęcia i twierdzenia topologii pozwalają przeformułować to twierdzenie i je uogólnić. Przedziały o wspomnianych własnościach – domknięte i ograniczone – są: ciągowo zwarte na mocy twierdzenia Bolzana-Weierstrassa; zwarte na mocy twierdzenia Heinego-Borela.
Twierdzenie Weierstrassa o kresach stosuje się też do funkcji ciągłych na innych zbiorach zwartych, rozważanych w: dowolnych przestrzeniach euklidesowych; dowolnych innych przestrzeniach metrycznych Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 2, wykład 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient, wazniak.mimuw.edu.pl, 17 maja 2024 [dostęp 2024-07-09].; dowolnych innych przestrzeniach topologicznych. Ta postać jest też znana jako uogólnione twierdzenie Weierstrassa.
Nazewnictwo Fakt ten jest też znany jako twierdzenie: Weierstrassa Michał Bełdziński, Twierdzenie Weierstrassa, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-09]. Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 8: Granica i ciągłość funkcji, 8. Twierdzenie Weierstrassa, wazniak.mimuw.edu.pl, 17 maja 2024 [dostęp 2024-07-09].; Weierstrassa o osiąganiu kresów Anna Barbaszewska-Wiśniowska, Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Własności funkcji ciągłych, serwis Open AGH, Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2024-07-09].; Weierstrassa o przyjmowaniu kresów; Weierstrassa o ekstremach globalnych; Weierstrassa o funkcji ciągłej na przedziale domkniętym Szymon Charzyński, Twierdzenie Weierstrassa o funkcji ciągłej na przedziale domkniętym, kanał Khan Academy na YouTube, 3 maja 2014 [dostęp 2024-07-09].; Weierstrassa o istnieniu optymalnych decyzji. o najmniejszej i największej wartości funkcji.
Bywa też wykładany bez osobnej nazwy. Osoba upamiętniona tymi nazwami to niemiecki matematyk z XIX wieku: Karl Weierstraß.
Przypadek zmiennej rzeczywistej mały|Wykres przedstawia ciągłą funkcję określoną na przedziale domkniętym Twierdzenie Weierstrassa o kresach mówi, że w tym przedziale istnieją ekstrema globalne, czyli maksimum i minimum. Odpowiednie argumenty funkcji są tu oznaczone przez Twierdzenie Jeśli funkcja rzeczywista jest ciągła, to: jej obraz jest ograniczony; funkcja ta osiąga swoje kresy, tzn. ma globalne minimum i maksimum:
Dowód Każdy z przedziałów dla jest zbiorem otwartym, a jest ciągła, więc ich przeciwobrazy też są otwarte (w zbiorze ). Rodzina pokrywa przedział więc ze zwartości tego ostatniego istnieje podpokrycie skończone – istnieją dla których Wówczas dla dowolnego mamy gdzie co oznacza, że jest funkcją ograniczoną. Oznaczmy kres górny obrazu przez i istnieje ciąg punktów przedziału dla których ciąg jest zbieżny do Z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa wiemy, że istnieje podciąg ciągu zbieżny do pewnej granicy Wtedy na mocy ciągłości funkcji otrzymujemy A więc wartość funkcji w punkcie jest kresem górnym obrazu (a więc także dla wszystkich ). W analogiczny sposób pokazujemy istnienie liczby dla której
Analiza założeń mały|Funkcja tangens na przedziale ograniczonym jest ciągła i nie jest na nim ograniczona. Ograniczenie obrazu funkcji jest gwarantowane tylko przy dodatkowym założeniu, że przedział, na którym funkcja jest ciągła, jest także domknięty.
Oba założenia o dziedzinie funkcji – czyli że odcinek jest domknięty i ograniczony – są istotne. To znaczy, że usunięcie dowolnego z nich daje fałszywą implikację. Przykłady: przedział jest ograniczony, ale nie jest domknięty. Funkcje ciągłe nie muszą być na nim ograniczone – por. odwracanie liczby rzeczywistej: cała prosta rzeczywista to przedział domknięty Intervals, OEIS Wiki, oeis.org [dostęp 2025-12-06]., ale nieograniczony. Funkcje ciągłe nie muszą być na nim ograniczone, np. funkcja wykładnicza
Przypisy
Bibliografia Książki publikowane drukiem
Dokumenty cyfrowe
Linki zewnętrzne Alicja Dembczak-Kołodziejczyk, Jak wyznaczyć największą/najmniejszą wartość funkcji?, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-09]. [dostęp 2023-08-14].
Weierstrassa o kresach Weierstrassa o kresach Kategoria:Funkcje ciągłe