Twierdzenie de Rhama – twierdzenie z pogranicza geometrii różniczkowej i topologii algebraicznej. Łączy ono dwa sposoby opisywania własności rozmaitości różniczkowych: za pomocą form różniczkowych oraz za pomocą metod topologicznych.
W ujęciu współczesnym twierdzenie mówi, że dla każdej gładkiej rozmaitości i każdej liczby naturalnej istnieje naturalny izomorfizm
Po lewej stronie występuje kohomologia de Rhama, zbudowana z form różniczkowych. Po prawej stronie występuje kohomologia singularna o współczynnikach w zbiorze liczb rzeczywistych. Twierdzenie pokazuje więc, że informacje otrzymywane z rachunku form różniczkowych są zgodne z informacjami otrzymywanymi metodami topologii algebraicznej.
Twierdzenie zostało udowodnione przez Georges’a de Rhama w pracy opublikowanej w 1931 roku.
Sformułowanie
Niech będzie gładką rozmaitością. Przez oznacza się przestrzeń gładkich -form różniczkowych na . Formy te można różniczkować za pomocą operatora
Operator ten spełnia warunek . Oznacza to, że dwukrotne zastosowanie tego różniczkowania daje zero. Dzięki temu przestrzenie form różniczkowych tworzą kompleks de Rhama:
Kohomologię de Rhama definiuje się jako iloraz form zamkniętych przez formy dokładne:
Formą zamkniętą nazywa się formę , dla której . Formą dokładną nazywa się formę, którą można zapisać jako dla pewnej formy . Ponieważ , każda forma dokładna jest zamknięta. Nie każda forma zamknięta musi jednak być dokładna, a różnicę między tymi dwoma pojęciami opisuje właśnie kohomologia de Rhama.
Twierdzenie de Rhama głosi, że tak zdefiniowana kohomologia de Rhama jest naturalnie izomorficzna z kohomologią singularną o współczynnikach rzeczywistych:
Całkowanie form po łańcuchach
Izomorfizm w twierdzeniu de Rhama powstaje przez całkowanie form różniczkowych po łańcuchach singularnych. Jeśli jest formą różniczkową, a jest odpowiednim łańcuchem, można rozważać całkę
W ten sposób klasie kohomologii de Rhama przyporządkowuje się funkcjonał na klasach homologii:
Znaczenie tej konstrukcji polega na tym, że wynik całkowania zależy od klasy kohomologii formy oraz od klasy homologii łańcucha, a nie od przypadkowego wyboru konkretnych reprezentantów tych klas. Właśnie dlatego całkowanie może łączyć opis analityczny, oparty na formach różniczkowych, z opisem topologicznym, opartym na łańcuchach.
Związek z twierdzeniem Stokesa
Kluczową rolę w dowodzie twierdzenia de Rhama odgrywa twierdzenie Stokesa. Dla odpowiedniej formy różniczkowej i łańcucha zachodzi wzór
Jeśli forma jest zamknięta, czyli , to całka po brzegu łańcucha jest równa zeru. Jeśli natomiast forma jest dokładna, czyli , to jej całka po cyklu również znika. Te dwie własności sprawiają, że całkowanie form jest zgodne z przejściem do klas homologii i kohomologii.
Znaczenie twierdzenia
Twierdzenie de Rhama pokazuje, że pewne własności topologiczne gładkiej rozmaitości można badać za pomocą form różniczkowych. Innymi słowy, obiekty pochodzące z analizy i geometrii różniczkowej prowadzą do tych samych rzeczywistych niezmienników kohomologicznych, które otrzymuje się w topologii algebraicznej.
Jest to ważne, ponieważ formy różniczkowe są narzędziem obliczeniowym. W wielu sytuacjach łatwiej jest pracować z formami i ich różniczkowaniem niż bezpośrednio z definicją kohomologii singularnej. Twierdzenie pozwala więc przechodzić między językiem analizy a językiem topologii.
Podstawową intuicję daje lemat Poincarégo. Mówi on, że lokalnie, na odpowiednio prostych obszarach, każda zamknięta forma dodatniego stopnia jest dokładna. Jeśli na całej rozmaitości istnieją formy zamknięte, które nie są dokładne, oznacza to obecność globalnej przeszkody topologicznej. Tę przeszkodę mierzy kohomologia de Rhama.
Uwaga o homologii i kohomologii
Twierdzenia de Rhama nie należy zapisywać jako prostego izomorfizmu
Taki zapis jest zbyt uproszczony i może być mylący. Standardowa postać twierdzenia dotyczy izomorfizmu między kohomologią de Rhama a kohomologią singularną z rzeczywistymi współczynnikami:
Związek z homologią singularną pojawia się przez całkowanie form po cyklach oraz przez ogólne twierdzenia algebry homologicznej. Nie jest to jednak podstawowe sformułowanie twierdzenia de Rhama.
Przykład intuicyjny
Na płaszczyźnie bez punktu zerowego można rozważać formę
Forma ta jest zamknięta, ale nie jest dokładna na całej przestrzeni . Jej całka po okręgu otaczającym punkt zerowy jest różna od zera. Pokazuje to, że forma różniczkowa może wykrywać globalną własność przestrzeni, w tym przypadku obecność „dziury”.
Zobacz też
Georges de Rham Kompleks de Rhama Forma różniczkowa Homologia singularna Twierdzenie Stokesa Lemat Poincarégo Topologia algebraiczna Geometria różniczkowa Rozmaitość różniczkowa
Przypisy
Kategoria:Topologia algebraiczna Kategoria:Geometria różniczkowa