Szereg Neumanna – szereg będący odwrotnością rezolwenty w przestrzeni unormowanej. Dla operatora na przestrzeni unormowanej oznaczamy przez oraz jego złożenie. Wtedy szeregiem Neumanna nazywamy szereg
zbieżny w normie operatorowej.
Szereg nosi nazwisko Carla Neumanna, w którego pracy pojawił się po raz pierwszy w 1877 r. w kontekście teorii potencjału. Szereg Neumanna jest uogólnieniem szeregu potęgowego.
Własności Jeżeli jest przestrzenią Banacha, odpowiadającą normą operatorową oraz , to oznaczając przez ciąg sum częściowych,
,
dlatego jest ciągiem Cauchy'ego, więc jest zbieżny. Ponadto, wtedy
,
co dąży do operatora identycznościowego, gdy oraz
,
więc szereg Neumanna jest równy . W ogólności, jeśli
dla (poza spektrum ) jest rezolwentą operatora , to szereg Neumanna
jest równy .
Korzystając z szeregu Neumanna można wykazać przy powyższych założeniach, że
.
Analogicznie można wykazać, że
.
Przypisy
Linki zewnętrzne Neumann series , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].
Kategoria:Szeregi funkcyjne Kategoria:Analiza funkcjonalna