Problem desek Tarskiego () – problem geometrii wypukłej, sformułowany przez Alfreda Tarskiego w 1932 r. Zagadnienie dotyczy tego, czy -wymiarowy zbiór wypukły w przestrzeni euklidesowej może zostać pokryty "deskami", tzn. przestrzeniami między dwiema hiperpłaszczyznami w taki sposób, że łączna suma szerokości desek (odległości między hiperpłaszczyznami) jest mniejsza od szerokości zbioru pokrytego.
Problem został rozwiązany przez Thøgera Banga w pracach z 1950 i 1951 r.. Jednocześnie w pracy z 1951 r. Bang zaproponował uogólnienie problemu, które do dziś pozostaje nierozwiązane, a którego szczególny przypadek udowodnił Keith Ball w 1991 r..
Sformułowanie mały|Problem Tarskiego w przestrzeni wymiaru 2 Rozważmy zbiór wypukły w przestrzeni euklidesowej . Dla hiperpłaszczyzny , tzn. podprzestrzeń afiniczną przestrzeni wymiaru . Przez będziemy oznaczać szerokość w kierunku , tzn. odległość między dwiema hiperpłaszczyznami równoległymi do podpierającymi . Przez szerokość będziemy mieć na myśli
.
Deską w przestrzeni będziemy nazywać zbiór punktów pomiędzy dwiema hiperpłaszczyznami, które nazywamy hiperpłaszczyznami brzegowymi deski . Szerokość deski będziemy oznaczać i będzie ona wynosić odległość między hiperpłaszczyznami brzegowymi . Ponadto powiemy, że deski pokrywają , jeśli
.
Sformułowanie problemu Tarskiego jest następujące. Jeśli ciało wypukłe jest pokryte przez deski , to
.
Innymi słowy, suma szerokości desek musi wynosić co najmniej tyle, co szerokość .
Uogólnienie Banga Thøger Bang uogólnił zagadnienie do postaci niezmiennej przy działaniu przekształceń afinicznych. Dla deski o hiperpłaszczyźnie brzegowej przez będziemy oznaczać jej szerokość względną () daną przez
.
Bang postawił hipotezę, że jeśli ciało wypukłe jest pokryte przez deski , to suma ich szerokości względnych jest większa lub równa 1,
.
Keith Ball w pracy z 1991 r. udowodnił prawdziwość tej hipotezy dla zbiorów wypukłych środkowo symetrycznych, tzn. takich, że istnieje punkt taki, że wtedy i tylko wtedy, gdy . W swoim rozwiązaniu korzystał z faktu, że dla każdego takiego zbioru można utworzyć przestrzeń Banacha , w której jest kulą jednostkową w normie Minkowskiego. Dla zbiorów niebędących środkowo symetrycznymi, problem wciąż pozostaje otwarty.
Popularyzacja 8 listopada 2024 r. Grant Sanderson udostępnił na swoim kanale 3Blue1Brown w serwisie YouTube film ilustrujący problem w przypadku przestrzeni dwuwymiarowej.
Przypisy
Kategoria:Geometria afiniczna Kategoria:Otwarte problemy matematyki