Układ odniesienia w algebrze liniowej (także: rama, ramka, szkielet) to podzbiór wektorów przestrzeni unitarnej z ustalonym iloczynem skalarnym, który rozpina tę przestrzeń. Jest uogólnieniem bazy przestrzeni wektorowej na zbiory, których elementy mogą być liniowo zależne. W terminologii przetwarzania sygnałów rama zapewnia redundantny, stabilny sposób reprezentacji sygnału. Ramy są używane w zagadnieniach wykrywania i korygowania błędów, projektowania i analizy banków filtrów, a ogólniej w matematyce stosowanej, informatyce i inżynierii.

Historia Pojęcie układu odniesienia (ramy) wywodzi się z różnych rozważań matematycznych, co powoduje, iż jej definiowanie opiera się na różnorodnych pojęciach i ma swoje korzenie w analizie harmonicznej i funkcjonalnej, teorii operatorów, algebrze liniowej i teorii macierzy. Motywacja dla tego pojęcia wypłynęła z zastosowań transformat. Transformata Fouriera jest wykorzystywana od ponad wieku do reprezentacji sygnałów. Transformata Fouriera ukrywa (powoduje utratę) kluczowe informacje dotyczące momentu emisji i czasu trwania sygnału. W 1946 roku Dennis Gabor rozwiązał ten problem, stosując technikę, która jednocześnie redukowała szum, zapewniała odporność i tworzyła kwantyzację, jednocześnie hermetyzując ważne charakterystyki sygnału.

Koncepcja ramy został po raz pierwszy opisana przez i w artykule z 1952 r. na temat nieharmonicznych szeregów Fouriera jako sposobu obliczania współczynników w kombinacji liniowej wektorów liniowo zależnego zbioru rozpinającego (w ich terminologii „układu odniesienia przestrzeni Hilberta ”). W latach 80. XX wieku , Ingrid Daubechies i Yves Meyer użyli układów odniesienia przestrzeni Hilberta (ram) do analizy falek. Obecnie ramy są kojarzone z falkami, przetwarzaniem sygnałów i obrazów oraz kompresją danych.

Definicja i motywacja Przykład motywujący: obliczanie bazy z liniowo zależnego zbioru Załóżmy, że V jest polem wektorowym nad ciałem F i chcemy przedstawić jako liniową kombinację wektorów ze zbioru , taką że

Jeśli zestaw nie , to takie współczynniki nie istnieją dla każdego w V. Jeśli rozpina i jest również liniowo niezależny, to taki zbiór tworzy bazę i współczynniki są jednoznacznie określone przez . Jeśli jednak jest rozpiętością , ale nie jest liniowo niezależny, to sposób określania współczynników staje się mniej oczywisty, zwłaszcza gdy ma nieskończony wymiar.

Jeśli uwzględnimy to, iż rozpina , a jego elementy są liniowo zależne, to usuwając wektor za wektorem z tego zbioru, aż pozostałe elementy staną się liniowo niezależne, utworzymy bazę. Istnieją pewne problemy z tym schematem:

Usuwanie dowolnych wektorów z zestawu może spowodować, że pozostałe elementy nie będą rozpinały V gdy osiągniemy zbiór elementów liniowo niezależnych. Nawet jeśli uda się opracować konkretny sposób usuwania wektorów ze zbioru, aż stanie się on bazą, podejście to może okazać się w praktyce niewykonalne, jeśli zbiór jest duży lub nieskończony. W niektórych zastosowaniach korzystne może być użycie większej liczby wektorów niż jest to konieczne do przedstawienia v. Oznacza to, że chcemy znaleźć współczynniki bez usuwania elementów z . Współczynniki nie będzie zatem jednoznacznie określany przez v. Dlatego wektor v można przedstawić jako kombinację liniową elementów na więcej niż jeden sposób.

Definicja Niech będzie przestrzenią unitarną i będzie zbiorem wektorów w . Zestaw jest układem odniesienia , jeśli istnieją dwie stałe takie, że

Ramkę nazywamy nadkompletną (lub nadmiarową ), jeżeli nie jest dla przestrzeni V. Nadmiarowość ramki mierzona jest dolną i górną granicą ramki (lub współczynnikami nadmiarowości ) i , odpowiednio. To znaczy, że rama o elementach w wymiarowej przestrzeni , gdzie , której elementy są znormalizowanymi wektorami w -przestrzeń wymiarowa spełnia ograniczenia ramki, jeśli

Jeżeli układ jest (zatem jest liniowo niezależny), to . Granice ramki nie są unikalne, ponieważ liczby mniejsze niż i większy niż są również prawidłowymi ograniczeniami ramki. Optymalną dolną granicą jest supremum wszystkich dolnych granic, a optymalną górną granicą jest infimum wszystkich górnych granic.

Rozkład elementu przestrzeni wektorowej w układzie odniesienia — ujęcie operatorowe Jeśli jest układem odniesienia, to operator liniowy zdefiniowany jako

odwzorowujący na ciąg współczynników względem układu odniesienia , nazywany jest operatorem analizy. Korzystając z tej definicji, warunek na to, aby zbiór elementów tworzył układu odniesienia można zapisać w postaci:

Zobacz też Układ odniesienia

Przypisy