Twierdzenie Kroneckera-Webera – twierdzenie z dziedziny algebraicznej teorii liczb charakteryzujące abelowe ciała liczbowe. Można pokazać, że dowolne podciało cyklotomicznego rozszerzenia liczb wymiernych (rozszerzenia o pierwiastki pierwotne z 1 stopnia ) jest rozszerzeniem abelowym, a jego grupą Galois jest podgrupa . Twierdzenie Kroneckera-Webera zapewnia implikację w drugą stronę i mówi, że dowolne skończone rozszerzenie abelowe jest zawarte w pewnym rozszerzeniu cyklotomicznym.
Równoważnie twierdzenie Kroneckera-Webera mówi, że dowolną liczbę algebraiczną całkowitą, której grupa Galois jest abelowa można przedstawić jako kombinację liniową pierwiastków z 1 o współczynnikach wymiernych. Dla przykładu (niech oznacza tu pierwotny pierwiastek stopnia z 1): , , .
Sformułowanie w teorii ciał Twierdzenie Kroneckera-Webera zazwyczaj formułuje się w języku teorii ciał: dowolne rozszerzenie ciała którego grupa Galois jest abelowa jest podciałem pewnego rozszerzenia cyklotomicznego .
Dzięki twierdzeniu Kroneckera-Webera wiemy, że dla dowolnego rozszerzenia abelowego zawsze istnieje jakieś najmniejsze roszerzenie cyklotomiczne , które je zawiera. Wówczas takie nazywamy konduktorem tego ciała. Dla rozszerzeń kwadratowych zawsze jest to wartość bezwzględna z wyróżnika ciała: .
Historia Jako pierwszy wypowiedź twierdzenia zaproponował Leopold Kronecker (1853), lecz dowód zaproponowany przez niego był niekompletny dla rozszerzeń o stopniu będącym potęgą 2. Heinrich Weber (1886) zaproponował kolejny dowód, choć on również był błędny, to błędy zostały wykryte i poprawione przez Olafa Neumanna (1981). Pierwszy w pełni poprawny dowód twierdzenia podał David Hilbert (1896).
Uogólnienia Lubin i Tate (1965, 1966) udowodnili lokalną wersję twierdzenia Kroneckera-Webera, która mówi że dowolne rozszerzenie abelowe ciała lokalnego może zostać skonstruowane używając rozszerzeń cyklotomicznych oraz rozszerzeń Lubina-Tate'a. Inne dowody tego twierdzenia przedstawili też Hazewinkel (1975), Rosen (1981) i Lubin (1981).
12 problem Hilberta dotyczy uogólnienia twierdzenia Kroneckera-Webera, tak aby opisywało rozszerzenia abelowe dowolnego ciała liczbowego, w szczególności podanie odpowiedników pierwiastków z 1 dla takich ciał. Aktualnie jedyne udowodnione uogólnienia w takiej formie istnieją dla ciał liczbowych z mnożeniem zespolonym.
Bibliografia
Kategoria:Algebraiczna teoria liczb