Problemy Smale'a – lista 18 problemów matematycznych ułożonych przez Stephena Smale'a w 1998 roku i opublikowana ponownie w 1999.
Smale stworzył listę w odpowiedzi na prośbę Władimira Arnolda, wówczas wiceprezesa Międzynarodowej Unii Matematycznej, który wysłał do kilku matematyków prośbę o stworzenie listy problemów matematycznych na XXI wiek. Arnold inspirował się listą problemów Hilberta, które zostały opublikowane na początku XX wieku i miały znaczący wpływ na rozwój matematyki w tym stuleciu.
Cztery z problemów Smale'a trafiły w roku 2000 na listę problemów milenijnych opublikowaną przez Instytut Claya: Hipoteza Riemanna, hipoteza Poincarego, problem P vs NP oraz istnienie rozwiązań równań Naviera-Stokesa.
Lista problemów Problem Krótki opis Aktualny status Rok rozwiązania 1 Hipoteza Riemanna: część rzeczywista dowolnego nietrywialnego miejsca zerowago funkcji zeta Riemanna wynosi Problem otwarty. – 2 Hipoteza Poincarego: dowolna domknięta, jednospójna, 3-wymiarowa rozmaitość topologiczna jest homeomorficzna ze sferą 3-wymiarową.Rozwiązany, udowodniona przez Grigorija Perelmana 2003 3Problem P vs NP: Czy dla dowolnego problemu obliczeniowego, którego rozwiązanie można zweryfikować w czasie wielomianowym na maszynie Turinga, można je również znaleźć w czasie wielomianowym? Problem otwarty. – 4 Hipoteza Tau Shuba-Smale'a dotycząca zer całkowitych wielomianu jednej zmiennej Problem otwarty. – 5 Czy da się rozstrzygnąć czy wielomianowe równanie diofantyczne ƒ(x, y) = 0 (wejście dla algorytmu: ƒ ∈ [x, y]) ma rozwiązanie całkowite, (x, y), w czasie (2s)c dla pewnej ogólnej stałej c? Innymi słowy, czy ten problem jest rozstrzygalny w czasie wykładniczym? Problem otwarty. – 6 Czy liczba stanów względnej równowagi w problemie n ciał w mechanice klasycznej jest skończona dla dowolnego wyboru dodatnich liczb rzeczywistych będących masami ciał? Rozwiązany częściowo. Udowodniony dla prawie wszystkich układów pięciu ciał przez A. Albouy oraz V.Kaloshina w 2012. 2012 7 Czy istnieje algorytm na znalezienie zbioru: , takiego, że funkcja: przyjmuje swoje minimum dla rozmieszczenia N punktów na sferze 2 wymiarowej? Jest to powiązane z problemem Thomsona. Problem otwarty. – 8 Rozszerzenie modelu matematycznego równowagi rynkowej, aby uwzględniał korekty cen. Gjerstad w 2013 rozszerzył deterministyczny model korekty cen do modelu stochastycznego, który po linearyzacji w punktach równowagi zapewnia autoregresyjne dopasowanie cen stosowane w ekonometrii.
Lindgren w 2022 stworzył inny model wykorzystujący programowanie dynamiczne wykorzystujący równania Hamiltona-Jacobiego-Bellmana do dynamiki zmian cen.
Na chwilę obecną nie ma powszechnej zgody czy problem można uznać za rozwiązany częściowo lub zamknięty. 2013? 2022? 9 Problem programowania liniowego: znaleźć algorytm, który dla danej macierzy i wektora w silnie wielomianowym czasie rozstrzygnie czy istnieje taki , że . Problem otwarty. – 10 Udowodnić Lemat Pugha o domknięciu dla funkcji z klas gładkości wyższych niż . Rozwiązany częściowo. Wersja udowodniona dla dyfeomorfizmów Hamiltona domkniętych powierzchni gładkich w 2016. 2016 11 Czy dynamika jednowymiarowa jest ogólnie hiperboliczna?
(a) Czy dowolny zespolony wielomian T może być aproksymowany wielomianami tego samego stopnia o tej własności, że dowolny punkt krytyczny w kolejnych iteracjach zmierza do zlewu? (b) Czy odwzorowanie gładkie może być przybliżone odwzorowaniami klasy które są hiperboliczne dla dowolnego ? (a) Problem otwarty. –(b) Rozwiązany, udowodnione przez Kozłovskiego, Shena i van Striena. 2007 12 Dla gładkiej rozmaitości domkniętej i dowolnego niech będzie grupą topologiczną dyfeomorfizmów klasy z na nią samą. Biorąc dowolny dyfeomorfizm , czy jest możliwe by aproksymować go z dowolną dokładnością za pomocą które są przemienne wyłącznie ze swoimi potęgami? Innymi słowy, czy podzbiór dyfeomorfizmów których centralizatory są trywialne jest gęsty w ? Rozwiązany częściowo. Christian Bonatti, Sylvain Crovisier oraz Amie Wilkinson udowodnili przypadek dla topologii . Dla problem wciąż nierozwiązany. 2009 13 16 problem Hilberta: podać opis owali powstających jako rzeczywiste krzywe algebraiczne oraz powstających jako zamknięte cykle dla wielomianowych pól wektorowych na płaszczyźnie rzeczywistej. Problem otwarty. – 14 Czy atraktor Lorenza przejawia takie własności jak dziwny atraktor? Rozwiązany, odpowiedź twierdząca. Warwick Tucker podał dowód używając technik komputerowych połączonych z formą normalną. 2002 15 Czy równania Naviera-Stokesa w posiadają jedyne i gładkie rozwiązania, które nie są ograniczone w czasie? Problem otwarty. – 16 Hipoteza jakobianowa: jeżeli Jakobian odwzorowania regularnego jest niezerową stałą i ma charakterystykę 0, wówczas posiada regularne odwzorowanie odwrotne . Kontrprzykład dla został znaleziony przez model językowy Claude Fable 5 w wyniku zapytań skierowanych przez pracownika firmy Anthropic, Leventa Alpögego. Przypadek dwuwymiarowy () pozostaje nierozstrzygnięty. 2026 17 Znaleźć algorytm rozwiązujący równania wielomianowe, który dla przeciętnego przypadku wykonuje się w czasie wielomianowym. Rozwiązany, początkowo przez zaproponowanie algorytmów losowych przez Beltrána i Pardo .
Kilkuletnie wysiłki zakończone derandomizacją algorytmu A la Bertan-Pardo i w konsekwencji podaniem w pełni deterministycznego algorytmu spełniającego założenia problemu. 2008–2016 18 Ograniczenia inteligencji (problem dotyczy fundamentalnych kwestii dotyczących inteligencji i uczenia się, zarówno ludzkiej inteligencji jak i uczenia maszynowego). Różni autorzy twierdzą, że podali rozwiązania tego problemu, wliczając w to argumenty za nieograniczonością ludzkiej inteligencji i ograniczenia dotyczące sztucznej inteligencji bazującej na sieciach neuronowych. Problem może nie być do końca matematyczny. –
Zobacz też problemy Hilberta problemy milenijne
Przypisy
Kategoria:Problemy matematyczne