Metoda Mullera – iteracyjna metoda numeryczna służąca do wyznaczania pierwiastków równań nieliniowych postaci . Jest uogólnieniem metody siecznych, w której zamiast aproksymacji liniowej stosuje się interpolację funkcją kwadratową Weisstein, Eric W. „Muller's Method”. MathWorld – Wolfram Research.https://mathworld.wolfram.com/MullersMethod.html. W przeciwieństwie do metody siecznych, metoda Mullera umożliwia wyznaczenie pierwiastków zespolonych nawet w przypadku funkcji o wartościach rzeczywistych.
Opis metody Metoda Mullera wykorzystuje trzy kolejne przybliżenia pierwiastka funkcji , na podstawie których konstruowana jest parabola interpolująca te punkty. Następnie jako kolejne przybliżenie pierwiastka wybierany jest punkt przecięcia tej paraboli z osią argumentów.
W przeciwieństwie do metody Newtona, metoda Mullera nie wymaga znajomości pochodnej funkcji. Zaletą algorytmu jest możliwość wyznaczania pierwiastków zespolonych, natomiast do jego wad zalicza się większą złożoność obliczeniową oraz potencjalne problemy numeryczne związane z wyborem odpowiedniego rozwiązania równania kwadratowego w kolejnych iteracjach.
Opis matematyczny Niech będą trzema kolejnymi przybliżeniami pierwiastka równania . Metoda Mullera polega na skonstruowaniu wielomianu kwadratowego interpolującego funkcję w tych punktach, a następnie wyznaczeniu punktu przecięcia tego wielomianu z osią argumentów. Wartość jest używana jako przybliżenie pierwiastka w kolejnej iteracji.
Wprowadza się przyrosty:
oraz ilorazy różnicowe:
Współczynniki paraboli interpolującej można zapisać w postaci:
Kolejne przybliżenie pierwiastka wyznaczane jest ze wzoru:
Znak w mianowniku wybierany jest w taki sposób, aby jego moduł był możliwie największy, co ogranicza błędy numeryczne związane z odejmowaniem liczb o zbliżonych wartościach.
Metoda znajduje zastosowanie w analizie numerycznej oraz w obliczeniach naukowych, zwłaszcza gdy mogą występować pierwiastki zespolone. Metoda Mullera jest zbieżna superliniowo, wartość zbieżności wynosi Burden, R. L.; Faires, J. D. Numerical Analysis. Brooks/Cole, 2011..
Zobacz też Metoda Newtona Metoda siecznych Analiza numeryczna Interpolacja
Przypisy
Bibliografia Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0521880688. Burden, R. L.; Faires, J. D. (2011). Numerical Analysis. Brooks/Cole.