Krata ortomodularna – krata z wyróżnionym działaniem dopełnienia ortogonalnego, spełniająca prawo ortomodularne. Kraty ortomodularne są jednym z podstawowych obiektów logiki kwantowej i abstrakcyjnej teorii struktur zdarzeń w mechanice kwantowej. Uogólniają algebry Boole’a, lecz w przeciwieństwie do nich nie muszą być rozdzielne.
Najważniejszym przykładem kraty ortomodularnej jest krata domkniętych podprzestrzeni przestrzeni Hilberta, uporządkowana przez inkluzję, z dopełnieniem danym przez dopełnienie ortogonalne.
Definicja Niech będzie kratą ograniczoną z najmniejszym elementem i największym elementem Krata nazywa się kratą z ortodopełnieniem albo ortokratą, jeżeli wyposażona jest w odwzorowanie
spełniające dla wszystkich warunki:
jeżeli to
Krata z ortodopełnieniem jest kratą ortomodularną, jeżeli dodatkowo spełnia prawo ortomodularne:
Równoważnie, prawo ortomodularne można zapisać w postaci
ponieważ przy założeniu zachodzi
Intuicja W algebrze Boole’a każdy element można rozłożyć względem dowolnego elementu jako
Jest to konsekwencja rozdzielności. W kracie ortomodularnej nie wymaga się takiego rozkładu dla dowolnych i lecz tylko wtedy, gdy Prawo ortomodularne jest więc osłabieniem własności modularnych i rozdzielnych, zachowującym część intuicji związanej z rozkładem ortogonalnym.
W zastosowaniach do mechaniki kwantowej elementy kraty interpretuje się jako zdania, własności lub zdarzenia dotyczące układu fizycznego. Relacja oznacza wtedy implikację logiczną, odpowiada koniunkcji, alternatywie, a negacji. Różnica między logiką klasyczną a kwantową polega między innymi na tym, że w logice kwantowej prawo rozdzielności może zawodzić.
Przykłady Algebry Boole’a Każda algebra Boole’a jest kratą ortomodularną. Jeśli jest algebrą Boole’a, to działanie dopełnienia boolowskiego jest ortodopełnieniem, a prawo ortomodularne wynika z rozdzielności:
W szczególności każda algebra zbiorów z inkluzją, sumą, przecięciem i dopełnieniem jest kratą ortomodularną.
Domknięte podprzestrzenie przestrzeni Hilberta Niech będzie przestrzenią Hilberta. Zbiór wszystkich domkniętych podprzestrzeni liniowych uporządkowany przez inkluzję, tworzy kratę zupełną. Dla domkniętych podprzestrzeni kres dolny jest przecięciem
a kres górny jest domknięciem sumy liniowej
Ortogonalne dopełnienie jest dopełnieniem w sensie iloczynu skalarnego. Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym wynika prawo ortomodularne: jeżeli to
a więc
Ten przykład jest podstawową motywacją dla pojęcia kraty ortomodularnej. W interpretacji kwantowej domknięte podprzestrzenie odpowiadają zdaniom pomiarowym, a rzuty ortogonalne odpowiadają obserwablom typu tak–nie.
Projekcje w algebrze von Neumanna Jeżeli jest algebrą von Neumanna, to zbiór jej projekcji tworzy kratę zupełną ortomodularną względem naturalnego porządku projekcji. Dopełnieniem projekcji jest Przykład ten uogólnia kratę rzutów ortogonalnych w przestrzeni Hilberta i jest ważny w operatorowym ujęciu mechaniki kwantowej.
Związki z innymi klasami krat Każda krata boolowska jest kratą ortomodularną, ale nie każda krata ortomodularna jest boolowska. Krata ortomodularna jest boolowska wtedy, gdy jest rozdzielna.
Każda modularna krata z ortodopełnieniem jest kratą ortomodularną. Rzeczywiście, jeżeli to z modularności wynika
Implikacja odwrotna nie zachodzi: istnieją kraty ortomodularne, które nie są modularne.
Relacje między podstawowymi klasami można więc przedstawić schematycznie:
Brak rozdzielności Kraty ortomodularne nie muszą spełniać prawa rozdzielności
Już w dwuwymiarowej przestrzeni Hilberta można zobaczyć typowy kontrprzykład. Niech niech będzie osią osią a prostą diagonalną. Wtedy
więc
Z drugiej strony
a zatem
Stąd rozdzielność zawodzi.
To właśnie nierozdzielność odróżnia kraty ortomodularne od algebr Boole’a i stanowi algebraiczny wyraz różnicy między logiką klasyczną a kwantową.
Ortogonalność i zgodność W kracie ortomodularnej mówi się, że dwa elementy są ortogonalne, jeżeli
Wtedy można interpretować jako sumę ortogonalną.
Innym ważnym pojęciem jest zgodność albo kompatybilność elementów. Dwa elementy nazywa się zgodnymi, jeżeli zachodzi rozkład
W wielu standardowych ujęciach jest to równoważne temu, że i należą do wspólnej podalgebry Boole’a kraty
W przypadku kraty rzutów w przestrzeni Hilberta zgodność odpowiada przemienności odpowiednich projekcji ortogonalnych. Gdy projekcje nie komutują, odpowiadające im zdania kwantowe nie zachowują się jak zdania jednej klasycznej algebry Boole’a.
Centrum Element kraty ortomodularnej nazywa się centralnym, jeżeli jest zgodny z każdym elementem kraty. Zbiór wszystkich elementów centralnych tworzy algebrę Boole’a, zwaną centrum kraty ortomodularnej.
Centrum opisuje klasyczną, boolowską część struktury ortomodularnej. Gdy centrum jest dwuelementowe, krata bywa nazywana nierozkładalną albo faktorem, zależnie od przyjętej terminologii i kontekstu.
Stany Na kracie ortomodularnej można rozważać odpowiedniki miar probabilistycznych. Stanem na kracie ortomodularnej nazywa się zwykle funkcję
taką, że oraz
dla elementów ortogonalnych W wersji przeliczalnie addytywnej analogiczny warunek wymaga addytywności dla przeliczalnych rodzin parami ortogonalnych elementów, o ile ich kres górny istnieje.
W przypadku kraty domkniętych podprzestrzeni zespolonej przestrzeni Hilberta o wymiarze co najmniej trzy twierdzenie Gleasona opisuje takie miary przez operatory gęstości. Jest to jeden z mostów między teorią krat ortomodularnych a standardowym formalizmem mechaniki kwantowej.
Znaczenie w logice kwantowej Koncepcja kraty zdań mechaniki kwantowej pochodzi z pracy Garretta Birkhoffa i Johna von Neumanna z 1936 roku. W tym ujęciu zdania o układzie kwantowym nie tworzą algebry Boole’a, lecz strukturę podobną do kraty domkniętych podprzestrzeni przestrzeni Hilberta. Właściwym algebraicznym uogólnieniem tej struktury są kraty ortomodularne i pokrewne im ortoposety.
Różnica w stosunku do logiki klasycznej polega głównie na tym, że nie wszystkie zdania są wzajemnie zgodne. Dla zgodnych zdań zachowanie jest lokalnie boolowskie, natomiast dla zdań niezgodnych zawodzą klasyczne prawa rozdzielności. Z tego względu kraty ortomodularne są naturalnym językiem do opisu zjawisk, w których współistnieją klasyczne fragmenty obserwowalne oraz nieprzemienne struktury pomiarowe.
Zobacz też algebra Boole’a krata (matematyka) logika kwantowa przestrzeń Hilberta algebra von Neumanna twierdzenie Gleasona
Przypisy
Kategoria:Teoria krat Kategoria:Logika matematyczna Kategoria:Struktury algebraiczne Kategoria:Mechanika kwantowa