thumb|upright=1.2|Zbiór przyczynowy 1000 elementów uzyskanych przez zraszanie Poissona w dwuwymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Oś pozioma odpowiada współrzędnej przestrzennej, a pionowa – czasowi. Relacje przyczynowe między elementami wynikają z ich położenia względem stożków świetlnych i nie są na wykresie zaznaczone. Zbiory przyczynowe (, także causets) – lokalnie skończone zbiory częściowo uporządkowane, wykorzystywane w jednym z podejść do grawitacji kwantowej. Zakłada się w nim, że czasoprzestrzeń na najbardziej podstawowym poziomie ma strukturę dyskretną, a relacje między elementarnymi zdarzeniami można opisać za pomocą porządku częściowego o interpretacji przyczynowej. Elementy zbioru przyczynowego odpowiadają zdarzeniom czasoprzestrzennym, natomiast relacja porządku określa, które z nich mogą być powiązane przyczynowo.
Celem tego podejścia jest zachowanie podstawowej roli przyczynowości znanej z ogólnej teorii względności przy jednoczesnym odrzuceniu założenia, że czasoprzestrzeń jest ciągła aż do dowolnie małych skal. Ideę tę streścił hasłem „Order + Number = Geometry”: z odpowiednio rozumianego porządku przyczynowego oraz liczby elementów w obszarach czasoprzestrzeni powinny dać się odtworzyć własności geometryczne, w tym struktura konforemna i objętość. W tym sensie zbiory przyczynowe są próbą zbudowania geometrii czasoprzestrzeni z danych kombinatorycznych, bez wprowadzania z góry ciągłego tła metrycznego.
Poza częścią kinematyczną — definicjami, geodezyjnymi i estymatorami wymiaru — program obejmuje też próby nadania zbiorom przyczynowym dynamiki, od klasycznej sekwencyjnej dynamiki wzrostu po sumowanie po historiach. Bada się w nim również pola kwantowe na dyskretnej strukturze, nielokalność wynikającą z połączenia dyskretności z niezmienniczością Lorentza oraz przewidywania fenomenologiczne i kosmologiczne, w tym fluktuacje stałej kosmologicznej. Mimo braku powszechnie przyjętego pełnego modelu grawitacji kwantowej zbiory przyczynowe pozostają aktywnym nurtem badawczym, w którym jednym z głównych problemów otwartych jest kontrolowane odtworzenie ciągłej czasoprzestrzeni z dyskretnego porządku.
Historia Przyczynowość od dawna odgrywała ważną rolę w fizyce teoretycznej. Wczesne próby uczynienia jej punktem wyjścia dla opisu czasoprzestrzeni wiązano między innymi z pracami Hermanna Weyla, Hendrika Lorentza i Alfreda Robba. Ważnym etapem były rozważania Rogera Penrose’a i E. H. Kronheimera nad strukturą przestrzeni przyczynowych, które otworzyły drogę do bardziej ogólnego, aksjomatycznego ujęcia relacji czasowych i przyczynowych.
Bezpośrednim zapleczem programu zbiorów przyczynowych stały się wyniki pokazujące, że w odpowiednich klasach czasoprzestrzeni struktura przyczynowa zawiera bardzo dużą część informacji geometrycznej. W szczególności twierdzenie Davida Malamenta, rozwijające wcześniejsze rezultaty Christophera Zeemana oraz Stephena Hawkinga, A. R. Kinga i P. J. McCarthy’ego, wiąże strukturę przyczynową z geometrią konforemną czasoprzestrzeni. Połączenie tej informacji z miarą objętości daje motywację dla zasady, że porządek i liczność mogą wystarczyć do odzyskania geometrii makroskopowej.
Współczesny program zbiorów przyczynowych został sformułowany przede wszystkim przez Lucę Bombellego, Joohana Lee, Davida Meyera i Rafaela Sorkina w pracy z 1987 roku. Od tego czasu rozwijano zarówno część kinematyczną programu, dotyczącą definicji i własności dyskretnych porządków przyczynowych, jak i próby nadania im dynamiki kwantowej oraz możliwych konsekwencji fenomenologicznych.
Definicja Zbiór przyczynowy jest zbiorem wyposażonym w relację która spełnia cztery podstawowe warunki: zwrotność: dla każdego zachodzi antysymetryczność: jeżeli i to przechodniość: jeżeli i to lokalna skończoność: dla dowolnych zbiór jest skończony.
Zapis oznacza zwykle, że oraz . Fizyczna interpretacja jest taka, że elementy zbioru reprezentują zdarzenia czasoprzestrzenne, natomiast relacja porządku opisuje ich możliwe następstwo przyczynowe. Warunek lokalnej skończoności jest kluczowy: to on wprowadza dyskretność, ponieważ między dwoma porównywalnymi elementami może znajdować się tylko skończona liczba zdarzeń pośrednich.
W literaturze spotyka się zarówno konwencję zwrotną, jak i równoważną konwencję przeciwzwrotną, w której relacja porządku jest asymetryczna. W obu konwencjach istotny jest podział par elementów na porównywalne przyczynowo oraz nieporównywalne, czyli niepozostające w relacji przyczynowej, interpretowane jako przestrzennopodobne.
Podstawowe pojęcia W opisie zbiorów przyczynowych powtarza się kilka pojęć, którym przypisuje się odpowiedniki wielkości znanych z ciągłej czasoprzestrzeni:
+ Podstawowe pojęcia zbiorów przyczynowych i ich intuicyjne odpowiedniki Pojęcie Intuicja w zbiorze przyczynowym Odpowiednik w czasoprzestrzeni ciągłej element pojedynczy punkt struktury zdarzenie czasoprzestrzenne relacja porządku „poprzedza lub jest tożsame” relacja przyczynowa link bezpośrednia relacja przyczynowa bez elementu pośredniego dyskretny odpowiednik elementarnego odcinka relacji przyczynowej łańcuch ciąg elementów parami porównywalnych krzywa czasopodobna antyłańcuch zbiór elementów parami nieporównywalnych dyskretny odpowiednik zbioru lub przekroju przestrzennopodobnego przedział elementy leżące przyczynowo między dwoma danymi obszar między dwoma zdarzeniami (przedział Alexandrowa) wierne osadzenie zanurzenie zachowujące porządek i gęstość zgodność ze strukturą przyczynową i objętością zraszanie Poissona losowe rozmieszczenie elementów dyskretyzacja zadanej czasoprzestrzeni
Związek z czasoprzestrzenią ciągłą Jednym z głównych pytań programu jest to, kiedy zbiór przyczynowy można uznać za dobry dyskretny odpowiednik ciągłej czasoprzestrzeni. Rozważa się wówczas osadzenie zbioru przyczynowego w modelu czasoprzestrzeni takim, by porządek w zbiorze odpowiadał strukturze przyczynowej w czasoprzestrzeni, a liczba elementów w danym obszarze była proporcjonalna do jego objętości. Takie osadzenie nazywa się wiernym, jeżeli zachowuje porządek przyczynowy oraz rozmieszcza elementy jednorodnie względem miary objętości czasoprzestrzeni przy ustalonej gęstości.
Ważną rolę odgrywa tu podstawowa hipoteza programu, zwana Hauptvermutung (z niem. „główna hipoteza”), zgodnie z którą ten sam zbiór przyczynowy nie powinien dopuszczać wiernych osadzeń w dwóch makroskopowo różnych czasoprzestrzeniach. W praktyce często stosuje się konstrukcję odwrotną, zwaną zraszaniem Poissona (ang. Poisson sprinkling): punkty rozmieszcza się losowo w ciągłej czasoprzestrzeni zgodnie z procesem Poissona, a następnie z relacji przyczynowych między nimi konstruuje się zbiór przyczynowy.
Dla obszaru o objętości i gęstości zraszania prawdopodobieństwo otrzymania punktów zapisuje się w postaci: Iloczyn jest oczekiwaną liczbą elementów przypadających na ten obszar. Losowy charakter tej konstrukcji ma znaczenie, ponieważ regularna sieć wyróżniałaby układ odniesienia i naruszała lokalną symetrię Lorentza. Zraszanie Poissona jest więc nie tylko techniką pomocniczą, lecz także sposobem pokazania, jak dyskretność może współistnieć z relatywistyczną symetrią na poziomie statystycznym.
Geometria i obserwable thumb|Najdłuższy łańcuch (geodezyjna) w zbiorze przyczynowym; jego długość przybliża odległość czasopodobną między elementami w odtwarzanej geometrii. W ramach teorii próbuje się odtwarzać własności geometryczne bez odwoływania się do zewnętrznego, wcześniej założonego kontinuum. Definiuje się między innymi linki, czyli elementarne relacje przyczynowe bez elementu pośredniego, oraz łańcuchy, które są uporządkowanymi sekwencjami elementów porównywalnych względem relacji .
Na tej podstawie można budować dyskretne odpowiedniki geodezyjnych i czasu własnego: długość najdłuższego łańcucha łączącego dwa porównywalne elementy interpretuje się jako odpowiednik czasu własnego między odpowiadającymi im zdarzeniami. Badane są również estymatory wymiaru, takie jak wymiar Myrheima–Meyera czy wymiar oparty na skalowaniu środka przedziału, które mają pozwalać odczytać efektywny wymiar czasoprzestrzeni z samej struktury zbioru przyczynowego.
Osobnym zagadnieniem jest odzyskiwanie pojęć przestrzennych. Elementy nieporównywalne względem porządku przyczynowego można traktować jako przestrzennopodobne, a z odpowiednio dobranych antyłańcuchów próbuje się rekonstruować analogi przestrzennych przekrojów. Rozwijano również konstrukcje odległości przestrzennej i topologii kontinuum, ale są one subtelniejsze niż czasopodobna długość łańcuchów, ponieważ w czysto przyczynowym porządku informacja przestrzenna pojawia się pośrednio.
Dynamika Drugim podstawowym problemem teorii, obok samej kinematyki, jest określenie dynamiki, czyli reguł wybierających te zbiory przyczynowe, które mogą odpowiadać fizycznie realistycznym czasoprzestrzeniom. Jednym z ważnych modeli jest klasyczna sekwencyjna dynamika wzrostu, w której nowe elementy są dołączane kolejno zgodnie z określonymi prawdopodobieństwami.
Modele wzrostu muszą być formułowane tak, aby etykiety nadawane elementom w trakcie konstrukcji nie miały bezpośredniego znaczenia fizycznego. Chodzi o dyskretny odpowiednik ogólnej kowariantności: fizycznie istotna ma być relacja porządku, a nie arbitralna kolejność lub nazwy elementów użyte w rachunku. Właśnie dlatego problem dynamiki zbiorów przyczynowych łączy się z pytaniami o obserwable, historię wzrostu i interpretację czasu w dyskretnych modelach kosmologicznych.
Rozwijane są również podejścia bardziej bezpośrednio inspirowane mechaniką kwantową, w których rozważa się sumowanie po historiach dla możliwych zbiorów przyczynowych. W tym kontekście badano między innymi dyskretny odpowiednik operatora d’Alemberta, konstrukcję działania Benincasy–Dowkera oraz numeryczne przesłanki wskazujące na pojawianie się fazy ciągłej w prostych modelach dwuwymiarowych.
Pola kwantowe i nielokalność Zbiory przyczynowe służą nie tylko do dyskretnego modelowania samej geometrii, lecz także do badań nad tym, jak na takiej strukturze można definiować pola materii. Prace Stevena Johnstona i innych autorów pokazały, że dla prostych przypadków można konstruować propagatory pól skalarnych bez odwoływania się do ciągłego tła czasoprzestrzennego. Celem takich konstrukcji jest sprawdzenie, czy znana lokalna kwantowa teoria pola może wyłaniać się jako przybliżenie makroskopowe z dyskretnego porządku przyczynowego.
Jednocześnie połączenie dyskretności z niezmienniczością Lorentza prowadzi do charakterystycznej nielokalności na skalach pośrednich: pojedynczy element zbioru przyczynowego może mieć bardzo wiele linków bliskich stożkowi świetlnemu, jeśli patrzeć na odpowiadające mu osadzenie w kontinuum. Dlatego odzyskanie efektywnej lokalności i zwykłego równania ruchu pól w granicy ciągłej pozostaje jednym z głównych testów programu.
Fenomenologia i kosmologia Za programem zbiorów przyczynowych przemawia między innymi to, że postulowana dyskretność nie wymaga prostego złamania symetrii Lorentza, dzięki czemu można formułować modele fenomenologiczne bez wprowadzania uprzywilejowanej siatki odniesienia. W literaturze analizowano między innymi dyfuzję położenia i pędu cząstek masywnych, dryf energii cząstek bezmasowych oraz możliwe efekty w polaryzacji fotonów i własnościach mikrofalowego promieniowania tła.
Z programem tym wiązano także niektóre modele kosmologiczne. Znanym przykładem jest hipoteza „everpresent lambda”, w której fluktuacje stałej kosmologicznej mają pozostawać związane z dyskretną strukturą czasoprzestrzeni postulowaną przez teorię zbiorów przyczynowych. Tego rodzaju propozycje traktuje się jako próby wskazania możliwych konsekwencji obserwacyjnych programu, a nie jako jego potwierdzoną część.
Znaczenie i problemy otwarte