Jednakowoskładalność – pojęcie w geometrii określające relację między figurami, które można podzielić na skończoną liczbę części, a następnie ułożyć z tych części jedną figurę w drugą. Pojęcie to jest szczególnie istotne w odniesieniu do wielokątów i ich pól.
Dwa wielokąty są jednakowoskładalne, jeżeli można każdy z nich podzielić na tę samą liczbę mniejszych wielokątów w taki sposób, aby odpowiednie części były przystające. Następnie części jednej figury można przesuwać, obracać i odbijać na drugą stronę, aby otrzymać drugą figurę.
Notacja Przyjmuje się następującą notację:
oznacza, że wielokąty i są przystające, oznacza, że wielokąty i są jednakowoskładalne, oznacza, że wielokąty i są słabo jednakowoskładalne, oznacza pole wielokąta .
Definicja Niech i będą wielokątami. Wielokąt nazywamy jednakowoskładalnym z wielokątem , jeżeli istnieją podziały
oraz
,
takie że
dla każdego .
Jeżeli i są jednakowoskładalne, zapisujemy
.
Własności Relacja jest relacją równoważności w zbiorze wszystkich wielokątów.
Zwrotność Każdy wielokąt jest jednakowoskładalny z samym sobą. Wystarczy nie wykonywać żadnego rozcięcia:
.
Symetria Jeżeli
,
to
.
Jeżeli części wielokąta można ułożyć w wielokąt , to można wykonać ten proces w odwrotną stronę.
Przechodniość Jeżeli
oraz
,
to
.
Jednakowoskładalność a równość pól Jeżeli
,
to
.
Wynika to bezpośrednio z definicji. Odpowiednie części wielokątów są przystające, a więc mają równe pola. Suma pól części pierwszego wielokąta jest zatem równa sumie pól części drugiego.
Samo przystawanie nie jest jednak konieczne do równości pól. Prostokąt i równoległobok mogą mieć równe pola, mimo że nie są przystające. Podobnie trójkąt i prostokąt mogą mieć równe pola, chociaż mają różne kształty.
Dla wielokątów okazuje się jednak, że równość pól jest wystarczająca do uzyskania jednakowoskładalności.
Jednakowoskładalność słaba Niech i będą wielokątami. Mówimy, że jest słabo jednakowoskładalny z , jeżeli istnieją wielokąty
oraz
,
takie że
dla każdego , a wielokąty
oraz
są jednakowoskładalne.
Słabą jednakowoskładalność zapisujemy symbolem
.
Idea jest następująca: jeżeli dwóch wielokątów nie potrafimy bezpośrednio rozciąć i ułożyć jeden w drugi, możemy do obu z nich dołączyć odpowiednie, parami przystające części pomocnicze. Po ich dodaniu otrzymane figury stają się jednakowoskładalne.
Relacja jest relacją równoważności.
Dla wielokątów zachodzi
.
Jednakowoskładalność mocna Drugim uogólnieniem jest mocna jednakowoskładalność. W tym przypadku ogranicza się zbiór dozwolonych ruchów części. Dwa wielokąty nazywamy mocno jednakowoskładalnymi, jeżeli jeden z nich można pociąć na skończoną liczbę wielokątów, z których można ułożyć drugi wyłącznie, bez przewracania na drugą stronę, za pomocą:
przesuwania, obracania.
Relacja mocnej jednakowoskładalności jest również relacją równoważności.
Twierdzenie Wallace’a-Bolyai-Gerwiena Dla dowolnych wielokątów i następujące warunki są równoważne:
. i są mocno jednakowoskładalne. , czyli i są jednakowoskładalne. , czyli i są prawie jednakowoskładalne.
W szczególności
.
Twierdzenie to jest znane jako twierdzenie Wallace’a-Bolyai-Gerwiena.
Dowód Jeżeli ,
to oba wielokąty można podzielić na parami przystające części. Jeżeli
oraz ,
gdzie ,
to
dla każdego . Po zsumowaniu otrzymujemy ,
więc: ,
Załóżmy, że .
Z własności mocnej jednakowoskładalności wynika, że istnieją prostokąty i o bokach długości odpowiednio oraz , takie że
oraz ,
przy czym w tym miejscu symbol oznacza odpowiednią relację mocnej jednakowoskładalności.
Ponieważ ,
otrzymujemy .
Zatem ,
więc prostokąty i są przystające: .
Stąd ,
a więc .
Z tego otrzymujemy: .
Przypisy
Kategoria:Geometria