Funkcja Dirichleta – funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych tzn. funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość gdy argument jest liczbą wymierną i wartość gdy argument jest liczbą niewymierną.
Formalnie funkcję Dirichleta można zapisać wzorem
Ponadto:
Własności Funkcja Dirichleta ma własności: jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny); stąd wynika, że jest wszędzie nieróżniczkowalna, jest okresowa, przy czym ma ona nieskończenie wiele okresów (każda liczba wymierna jest jej okresem) i nie ma okresu podstawowego, zbiór jej ekstremów jest mocy continuum, nie jest całkowalna w sensie Riemanna – w zależności od doboru podziału przedziału całkowania, aproksymacja prostokątami może dać dowolną sumę od zera do długości przedziału, zatem granica definiująca całkę Riemanna nie istnieje, jest całkowalna w sensie Lebesgue’a, przy czym jej całka Lebesgue’a na dowolnym przedziale jest równa zeru, ponieważ zbiór liczb wymiernych jest miary Lebesgue’a zero.
Zobacz też funkcja Thomae
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2023-08-26]. Dirichlet-function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-26].
D