Problem NP-trudny (NPH, ) – problem obliczeniowy, którego rozwiązanie jest co najmniej tak trudne, jak rozwiązanie każdego problemu z klasy NP.
Formalna definicja problemu NP-trudnego jest następująca: Problem jest NP-trudny, jeżeli pewien problem NP-zupełny jest do niego redukowalny wielomianową transformacją Turinga.
Innymi słowy, problem NP-zupełny można rozwiązać w wielomianowym czasie algorytmem rozwiązującym problem NP-trudny przez wykorzystanie hipotetycznej procedury sprowadzającej problem NP-zupełny do problemu NP-trudnego jeżeli tylko daje się wykonać w wielomianowym czasie. NP-trudność można zdefiniować także w kategorii języków formalnych (a nie problemów). Do klasy problemów NP-trudnych mogą należeć problemy różnego typu: decyzyjne, przeszukiwania, optymalizacyjne.
Wraz z definicjami klas problemów NP i NP-zupełnych ma to następujące konsekwencje: problem optymalizacyjny, którego wersja decyzyjna jest NP-zupełna, jest problemem NP-trudnym; NP-trudny problem jest co najmniej tak trudny, jak problem ponieważ jest problemem NP-zupełnym, toteż należy on do problemów najtrudniejszych w klasie NP, dlatego NP-trudny problem jest co najmniej tak trudny, jak cała klasa NP; ponieważ wszystkie problemy NP-zupełne transformują się wzajemnie do siebie (zwykłą) transformacją wielomianową (nie Turinga), to również wszystkie problemy NP-zupełne można rozwiązać przez redukcję do NP-trudnego problemu ponadto, jeśli to problemy NP-trudne nie mają rozwiązań w czasie wielomianowym, natomiast rozstrzygnięcie nie przesądza o wielomianowej rozwiązywalności wszystkich problemów NP-trudnych; jeżeli problem należy do klasy NP, to jest też problemem NP-zupełnym (gdyż wraz z istniejącą transformacją Turinga spełnia definicję problemu NP-zupełnego).
Przykłady problem komiwojażera problem plecakowy problem zbioru niezależnego problem zbioru wierzchołków rozrywających cykle
Zobacz też algorytm pseudowielomianowy problem liczbowy problem silnie NP-zupełny
Bibliografia M. R. Garey, D. S. Johnson, Computers and Intractability: A guide to the Theory of NP-Completeness, W.H.Freeman and Co., San Francisco, 1979. Christos H. Papadimitriou, Złożoność obliczeniowa, WNT, 2002. T. H. Cormen, C. E. Leiserson, C. Stein i R. L. Rivest, Wprowadzenie do algorytmów, WNT, 2004 M. Kubale, Łagodne wprowadzenie do analizy algorytmów, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, 2004.
Linki zewnętrzne
Kategoria:Klasy złożoności