Kwadratury Gaussa – metody całkowania numerycznego polegające na takim wyborze wag i węzłów interpolacji aby wyrażenie
najlepiej przybliżało całkę
gdzie jest dowolną funkcją określoną na odcinku a jest tzw. funkcją wagową spełniającą warunki
jest skończona, Jeżeli jest wielomianem takim, że to jeśli mamy wtedy
Określmy iloczyn skalarny z wagą
Powiemy, że dwa wielomiany są ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego, jeśli
Wszystkie kwadratury Gaussa wywodzą się z twierdzenia udowodnionego przez niego:
a) Jeżeli są pierwiastkami n-tego wielomianu ortogonalnego oraz są rozwiązaniami układu równań:
to dla każdego wielomianu stopnia nie większego niż zachodzi
Ponadto
b) Jeżeli dla pewnego ciągu węzłów oraz ciągu wag dla dowolnego wielomianu stopnia nie większego niż zachodzi warunek (*), to oraz z dokładnością do kolejności.
c) Dla dowolnego ciągu węzłów oraz ciągu wag istnieje wielomian stopnia 2n, dla którego nie zachodzi warunek (*).
Najczęściej spotykane rodzaje kwadratur Gaussa Kwadratury z przedziału z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Legendre’a
gdzie to pierwiastki i-tego wielomianu Legendre’a.
Kwadratury z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Czebyszewa
gdzie to pierwiastki n-tego wielomianu Czebyszewa.
Kwadratury z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Hermite’a
gdzie to pierwiastki n-tego wielomianu Hermite’a.
Kwadratury z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Laguerre’a
gdzie to pierwiastki n-tego wielomianu Laguerre’a.
Kwadratury z wagą nazywamy kwadraturami Gaussa-Jacobiego
Zobacz też analiza numeryczna metoda numeryczna metody Newtona-Cotesa
Bibliografia Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne Podręczniki akademickie Elektronika, informatyka, telekomunikacja, Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1982. D. Potter, Metody obliczeniowe fizyki, fizyka komputerowa, Warszawa: PWN, 1982. J. Szmelter, Metody komputerowe w mechanice, Warszawa: PWN, 1980. A. Ralston, Wstęp do analizy numerycznej, Warszawa: PWN, 1971.
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-09-23]. Gauss quadrature formula , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-09-23].
Kategoria:Całkowanie numeryczne