Rozkładem biegunowym operatora działającego w przestrzeni Hilberta nazywamy takie przedstawienie operatora dla którego
operator jest operatorem dodatnim na jądrze operatora odwzorowuje izometrycznie jądro na przestrzeń prostopadłą do jądra
Przedstawienie takie jest jednoznaczne.
Motywacja Rozkład biegunowy operatora jest analogią do rozkładu biegunowego liczby zespolonej, tzn. (kolejność analogiczna do powyższego przedstawienia). Komplikacje powyższego rozkładu wynikają stąd, że nie ma czegoś takiego jak operator fazy, tzn. nie można napisać – oznaczenia operatorów zostały dodane dla podkreślenia, że mamy do czynienia nie z liczbami, a operatorami działającymi w przestrzeni Hilberta (a więc przestrzeni wektorowej), której wymiar w ogólności może być nieskończony.
Szkic dowodu Niech będzie przestrzenią Hilberta. Dany jest operator ograniczony Operator jest dodatni (a zatem samosprzężony). Widmo jest podzbiorem Stosując ciągły rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych, można zdefiniować operator
W szczególności co oznaczam iż dla każdego zachodzi równość
Na mocy tożsamości polaryzacyjnej obrazy i są izometryczne. Istnieje zatem taka częściowa izometria że
Przykłady Rozkład biegunowy macierzy odpowiadającej grupie Lorentza bez odbić przestrzennych daje obrót jako (częściową) izometrię oraz pchnięcie jako operator dodatni.
Zobacz też rozkład macierzy
Kategoria:Fizyka matematyczna Kategoria:Endomorfizmy liniowe Kategoria:Przestrzenie Hilberta Kategoria:Rozkłady macierzy