mały|Wykres logarytmu naturalnego w kartezjańskim układzie współrzędnych
Logarytm naturalny, logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny – logarytm o podstawie (liczba Eulera), gdzie Oznaczany .
Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do
Logarytm jako pole pod wykresem mały|Logarytm naturalny jest równy polu zacieniowanego obszaru pod wykresem funkcji od do , które oblicza się jako całkę oznaczoną: .
Logarytm naturalny liczby można zdefiniować jako całkę oznaczoną
Geometrycznie jest to pole pod wykresem funkcji liczone ze znakiem. Przy czym: a) Jeżeli , to całka przedstawia pole obszaru pod wykresem między i , dlatego
b) Jeżeli , to granica górna całki jest mniejsza od dolnej, więc
Wartość całki jest zatem ujemna, mimo że pole geometrycznego obszaru między i jest dodatnie. W konsekwencji
Logarytm jako granica Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:
Pochodna logarytmu naturalnego Pochodna logarytmu o dowolnej podstawie dana jest wzorem:
Dla logarytmu naturalnego mamy oraz Stąd
Pochodne wyższych rzędów Pochodną -tego rzędu logarytmu naturalnego wyraża wzór:
Własności
Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję dla Jeśli ciąg to:
dla
Rozwinięcie w szereg Taylora i Maclaurina thumb|Kolejne wielomiany szeregu Maclaurina funkcji . Rozwinięcie jest zbieżne dla . Dla wielomiany coraz wyższych stopni nie poprawiają przybliżenia funkcji poza przedziałem zbieżności szeregu.
Szereg Taylora funkcji Ponieważ punkt nie należy do dziedziny funkcji , funkcja ta nie posiada rozwinięcia w szereg Maclaurina. Można jednak rozwijać ją w szereg Taylora wokół innych punktów.
Rozwijając funkcję wokół punktu , otrzymujemy:
Szereg ten jest zbieżny dla .
Szereg Maclaurina funkcji Z powyższego wzoru po podstawieniu otrzymujemy rozwinięcie Maclaurina funkcji :
Szereg ten jest zbieżny dla .
Zastosowania rozwinięć w szereg Taylora i Maclaurina Rozwinięcia logarytmu naturalnego w szereg Taylora i Maclaurina znajdują zastosowanie w analizie matematycznej, obliczeniach numerycznych oraz naukach przyrodniczych.
Przybliżanie wartości logarytmu. Dla argumentów bliskich jedności logarytm można obliczać za pomocą szeregu:
Np.
co stanowi dobre przybliżenie wartości rzeczywistej . Wyznaczanie granic. Rozwinięcie Maclaurina pozwala łatwo obliczać granice, np.:
Analiza zachowania funkcji. Upraszczanie wzorów. Pierwsze wyrazy szeregu opisują lokalne zachowanie funkcji w pobliżu danego punktu. Dla małych wartości :
Oznacza to, że logarytm naturalny jest w pobliżu zera bardzo dobrze przybliżany funkcją liniową. Stosując przybliżenia można upraszczać wzory, stosowanie do opisu zjawisk fizycznych, itp.
Informatyka i metody numeryczne. Rozwinięcia szeregowe były wykorzystywane w kalkulatorach i komputerach do obliczania wartości funkcji elementarnych. Zamiast bezpośrednio obliczać logarytm, sumowano kolejne wyrazy szeregu aż do uzyskania wymaganej dokładności.
Przypisy
Bibliografia
I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 2019, str. 155-156 (w dziedzinie liczb rzeczywistych) oraz str. 581 i 593 (w dziedzinie liczb zespolonych).
Linki zewnętrzne [dostęp 2023-08-30].
Kategoria:Logarytmy