Funkcja λ (lambda) Carmichaela – funkcja określona dla dodatnich liczb całkowitych, której wartością dla danej liczby jest najmniejsza liczba, taka, że podniesiona do jej potęgi liczba względnie pierwsza z przystaje do przy czym .
gdzie NWD to największy wspólny dzielnik, a „” – reszta z dzielenia przez
Definicja formalna Formalnie, dla danej liczby to najmniejsza taka liczba, że:
gdzie NWD to największy wspólny dzielnik, a „” – reszta z dzielenia przez
Wychodząc od pojęcia grupy, pojęcie funkcji Carmichaela można wprowadzić dużo naturalniej. Mianowicie, jeżeli rozważymy multiplikatywną grupę klas reszt modulo n z działaniem mnożenia modulo n to:
przy czym powyższe potęgowanie należy rozumieć jako składanie działania z grupy.
Własności Poniżej – oznacza funkcję Carmichaela, – funkcję Eulera.
Ścisły wzór Ścisły wzór na funkcję λ jest następujący (w poniższym wzorze pi to dla różnych indeksów różne liczby pierwsze, a αi – liczby naturalne):
przy czym NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność.
Oszacowania Dla dowolnej liczby naturalnej prawdziwe jest oszacowanie górne:
Dla dowolnej stałej dla dostatecznie dużych zachodzi nietrywialne ograniczenie:
Z drugiej strony dla pewnej stałej i nieskończenie wielu zachodzi
Wartości dla potęg liczby dwa Dla potęg liczby dwa zachodzą następujące równości: dla dla
Wartość dla liczb pierwszych Jeżeli – liczba pierwsza to zachodzi:
Wartość dla potęg nieparzystych liczb pierwszych Jeżeli – nieparzysta liczba pierwsza a – liczba naturalna to zachodzi:
Wartość dla iloczynu liczb względnie pierwszych Niech – dwie liczby naturalne; wówczas:
Twierdzenie Carmichaela – związek funkcji z Małym Twierdzeniem Fermata tzw. Twierdzenie Carmichaela mówi, że następujące dwa warunki są równoważne:
Przykład zastosowania funkcji Carmichaela Problem: obliczyć
Rozwiązanie: ponieważ 248 i 3 są względnie pierwsze (248 nie dzieli się przez 3, bo 2+4+8=14 a 1+4=5 → cecha podzielności przez 3), to możemy skorzystać z właściwości funkcji Carmichaela. λ(248)=NWW(λ(8),λ(31))=NWW(2, 30)=30. Tak więc – Co więcej – ponieważ 30 „mieści się” w 2000 66 razy to zachodzi:
co jest już do policzenia znacznie prostsze. Jeżeli nie dysponujemy kalkulatorem to możemy skorzystać z prostej właściwości – mianowicie 35=243 co, rozważając działanie jest równoważne wartości Czyli:
Funkcja Carmichaela i funkcja Eulera Ponieważ patrząc w odpowiedni sposób na funkcję Eulera, obie ww. funkcje pełnią podobną funkcję (tzn. są uniwersalnym wykładnikiem, dającym dla podstaw względnie pierwszych z argumentem, wartość przystającą do 1), to warto zobaczyć jaki jest realny zysk wartości. Np.
Oszczędność jest więc wyraźna.
Wartości dla 25 początkowych liczb naturalnych 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 10 2 12 6 4 4 16 6 18 4 6 10 22 2 20
thumb|center|500px|Wykres funkcji dla przedziału <1;23>
Wartości dla 7 najmniejszych liczb Carmichaela 561. 1105. 1729. 2465. 2821. 6601. 8911. 80 48 36 112 60 1320 198
Zobacz też chińskie twierdzenie o resztach funkcja φ Eulera liczby Carmichaela małe twierdzenie Fermata RSA
Przypisy
Bibliografia Paul Erdős, Carl Pomerance, Eric Schmutz, Carmichael’s lambda function, Acta Arithmetica, vol. 58, s. 363–385, 1991. John Friedlander, Carl Pomerance, Igor E. Shparlinski, Period of the power generator and small values of the Carmichael function, Mathematics of Computation, vol. 70 no. 236, s. 1591–1605, 2001.
Linki zewnętrzne Carmichael function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Funkcje arytmetyczne Kategoria:Arytmetyka modularna