mały|Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu dyfeomorficznym kwadratu na siebie. Intuicyjnie: przekształcenie to polega na zdeformowaniu siatki prostokątnej bez rozrywania i klejenia. Każda taka deformacja jest homeomorfizmem. Gdy deformacja ta jest funkcją klasy – a więc jest ciągła i jej pochodna jest ciągła – to funkcja ta jest dyfeomorfizmem. Dyfeomerfizmem nie byłaby deformacja z tworzeniem ostrych zagięć (choć byłby to homeomorfizm).

Dyfeomorfizm – izomorfizm rozmaitości różniczkowych, tj. odwzorowanie bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowymi, które jest różniczkowalne oraz takie, że odwzorowanie do niego odwrotne jest również różniczkowalne.

Definicja Niech i będą przestrzeniami unormowanymi oraz niech będzie niepustym, otwartym podzbiorem przestrzeni

Przekształcenie nazywane jest dyfeomorfizmem, gdy obraz jest podzbiorem otwartym w jest bijekcją, i są klasy (gdzie jest funkcją odwrotną do ).

Z definicji wynika, że jeśli jest dyfeomorfizmem, to i są odwzorowaniami regularnymi.

Gdy to dyfeomorfizmy są po prostu zanurzeniami homeomorficznymi klasy o różniczce maksymalnego rzędu, których funkcja odwrotna jest klasy w obrazie.

W niektórych publikacjach od dyfeomorfizmu wymaga się, by był funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną.

Dyfeomorfizm przywiedlny Niech będzie otwartym podzbiorem Mówi się, że dyfeomorfizm

jest przywiedlny, gdy istnieją takie że dla

Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a.

Dyfeomorfizm zachowujący orientację Funkcja

jest dyfeomorfizmem, gdy jest taką bijekcją klasy że dla

(por. definicję dla ). Dyfeomorfizm zachowuje orientację (osi liczbowej), jeśli

i zmienia orientację w przeciwnym wypadku, tzn. gdy

Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:

Twierdzenie Niech będzie otwartym podzbiorem będzie drogą kawałkami gładką oraz będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy

gdzie: gdy zachowuje orientację, gdy zmienia orientację.

Grupa dyfeomorfizmów Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej jest dyfeomorfizmem rozmaitości na siebie. Za pomocą działania składania automorfizmów można utworzyć na rozmaitości grupę automorfizmów. Grupę tę oznacza się symbolem

Ważne dyfeomorfizmy Dyfeomorfizm biegunowy Niech Funkcja określona wzorem

przeprowadza na obszar Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne biegunowe. Jakobian tego przekształcenia Dyfeomorfizm sferyczny Niech Funkcja określona wzorem

przeprowadza zbiór na zbiór Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia Dyfeomorfizm walcowy Niech Funkcja określona wzorem

przeprowadza na obszar Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia

Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie Niech i będą przestrzeniami Banacha, będzie niepustym, otwartym podzbiorem oraz będzie dane odwzorowanie klasy Jeśli jest różniczkowalne w punkcie oraz pochodna ta jest izomorfizmem (liniowym) na to istnieje takie otoczenie punktu że odwzorowanie jest dyfeomorfizmem.

Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzeni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej.

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Kategoria:Funkcje ciągłe Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy Kategoria:Morfizmy Kategoria:Topologia różniczkowa