alt=Diagram przedstawiający krzywe stożkowe|mały|220px|Cztery rodzaje krzywych stożkowych: okrąg, elipsa, parabola, hiperbola mały|220px|Główne rodzaje stożkowych
Krzywa stożkowa – zbiór punktów przecięcia płaszczyzny i powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg. Krzywe stożkowe są krzywymi drugiego stopnia, tzn. można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych i
Stożkowe są niezmiennikami przekształcenia rzutowego i stąd grają pewną rolę w geometrii rzutowej. Typ stożkowej może się przy tym zmieniać, stożkowe można w tym sensie uznać za rzuty okręgu na płaszczyznę.
Rys historyczny Za twórcę teorii krzywych stożkowych uważa się Menaichmosa, zaś znane pojęcia elipsa, parabola i hiperbola wprowadził Apoloniusz z Pergi. Krzywe stożkowe, których zastosowania nie widziano, stały się niezwykle ważne dopiero w XVII wieku w związku z odkryciami Jana Keplera, który udowodnił, iż planety krążą po torach eliptycznych, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk (I prawo Keplera). Nowe ujęcie teorii krzywych stożkowych stworzył Jean-Victor Poncelet w XIX wieku.
Rodzaje krzywych stożkowych mały|220px|Okrąg elipsa parabola i hiperbola Dla uzyskuje się prostą, odpowiadającą kierownicy każdej z tych krzywych stożkowych.
Wyróżnia się następujące krzywe stożkowe, zależnie od kąta, jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z osią stożka i kąta tworzącej stożka: W przypadku, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest większy od kąta między tworzącą a osią stożka, wówczas krzywą stożkową jest elipsa. Szczególnym przypadkiem elipsy jest okrąg, który powstaje, gdy wspomniany kąt jest prosty, czyli płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi stożka. Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest równy kątowi pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, czyli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej, to krzywą stożkową jest parabola. W szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna tnąca pokrywa się z tworzącą, otrzymuje się prostą (parabola zdegenerowana). Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, to otrzymana stożkowa jest hiperbolą. Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje tej osi. W szczególnym przypadku, gdy oś stożka jest zawarta w płaszczyźnie tnącej, otrzymuje się parę przecinających się prostych, będącą zdegenerowanym przypadkiem hiperboli.
Równanie mały|220px|Elipsa - pokazano parametrem („semilatus rectum) zielonym kolorem
Wszystkie krzywe stożkowe można opisać równaniem we współrzędnych biegunowych:
gdzie: – współrzędne punktu; – mimośród krzywej, decydujący o jej kształcie: – okrąg, szczególny przypadek elipsy; – elipsa; – parabola; – hiperbola. – parametr, decydujący o kącie pomiędzy tworzącą a osią stożka; parametr jest równy połowie długości cięciwy przechodzącej przez ognisko krzywej i równoległej do jej kierownicy. Nosi on łacińską nazwę semilatus rectum.
Zobacz też
lista krzywych
Przypisy
Linki zewnętrzne
Anna Laskowska, Krzywe stożkowe, „Matematyka i Informatyka na Uczelniach Technicznych” (MINUT) – Politechnika Śląska, minut.polsl.pl, , 2021 [dostęp 2026-01-17]. Krzywe stożkowe, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-28]. [dostęp 2024-03-07]. Conic sections , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Kategoria:Geometria rzutowa