Statystyka, statystyka z próby to – w najprostszym ujęciu – liczbowa charakterystyka próby losowej. Ponieważ próba jest losowa, statystyka, jako funkcja próby, jest zmienną losowąJ.R. Barra, Matematyczne podstawy statystyki, s. 11–12.. Przykładami statystyk są: średnia z próby, odchylenie standardowe i wariancja z próby, a także statystyki testowe, takie jak statystyka t lub statystyka chi-kwadrat.

Statystyki są często estymatorami parametrów rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej.

Definicja formalna Niech będzie przestrzenią statystyczną, gdzie

jest rodziną miar probabilistycznych określonych na σ-ciele podzbiorów zbioru indeksowaną parametrem Niech dalej będzie przestrzenią mierzalną. Funkcję mierzalną nazywamy statystyką. Zbiór jest nazywany przestrzenią prób.

Własności Jeśli to statystykę nazywamy statystyką o wartościach rzeczywistych. Jeśli to statystykę nazywamy statystyką o wartościach wektorowych.

Statystyka swobodna Statystyka jest statystyką swobodną ze względu na wartość oczekiwaną, gdy istnieje i nie zależy od Wspólną dla wartość oczekiwaną oznaczamy i nazywamy wartością oczekiwaną statystyki

Statystyka dostateczna Definicja i własności σ-ciało dostateczne σ-podciało σ-ciała jest dostateczne, gdy dla każdego istnieje wersja prawdopodobieństwa warunkowego taka sama dla wszystkich miar z rodziny

Statystyka dostateczna Statystykę nazywamy dostateczną, jeżeli σ-podciało jest dostateczne.

Twierdzenie Niech statystyka będzie statystyką o wartościach wektorowych. jest statystyką dostateczną dla rodziny lub dla jeżeli dla każdej wartości rozkład warunkowy nie zależy od

Przypadek ogólny opisuje poniższe twierdzenie (zwane twierdzeniem o faktoryzacji lub twierdzeniem Neymana):

Twierdzenie Niech będzie przestrzenią statystyczną dominowaną. Statystyka jest dostateczna wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje gęstości dają się przedstawić w postaci:

gdzie: jest funkcją -mierzalną, funkcje są -mierzalne.

Minimalna statystyka dostateczna Statystykę dostateczną nazywamy minimalną statystyką dostateczną, jeżeli dla każdej statystyki dostatecznej istnieje funkcja taka, że

Zobacz też

miara rozkładu przegląd zagadnień z zakresu statystyki

Przypisy

Bibliografia

https://web.archive.org/web/20040921200718/http://www.impan.gov.pl/~rziel/7ALL.pdf (dostęp: 21 maja 2008)

Kategoria:Miary rozkładu Kategoria:Teoria estymacji