mały|układ równań przedstawiony graficznie: niebieska linia – funkcja liniowa, czerwona linia – funkcja kwadratowa Układ równań – koniunkcja pewnej liczby równań; liczba ta może być nieskończona.

Rozwiązaniem układu równań jest każde przyporządkowanie wartości (liczb w przypadku układu równań algebraicznych, funkcji w przypadku układu równań funkcyjnych itd.) niewiadomym, które spełniają każde z równań składowych. Innymi słowy rozwiązaniem układu równań jest część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich tych równań.

Układ równań nazywa się sprzecznym, jeżeli nie ma on rozwiązań.

Historia Rozwiązywaniem układów równań zajmowano się już ponad 3000 lat temu. Najstarsze przykłady układów równań pochodzą z glinianych tabliczek, odkrytych podczas wykopalisk archeologicznych na terenie starożytnej Babilonii. Układy te są zapisane pismem klinowym, które w niczym nie przypominają współczesnej symboliki matematycznej. Jednak metody ich rozwiązywania przez starożytnych rachmistrzów niewiele różnią się od metod stosowanych dzisiaj.

Układy równań liniowych

Twierdzenie Kroneckera-Capellego pozwala rozstrzygnąć, czy dany układ równań ma rozwiązanie. Wśród metod rozwiązywania układów równań można wymienić następujące: przez podstawianie (wyznaczenie jednej zmiennej z jednego równania i podstawianie do innego tak, by ostatecznie otrzymać jedno równanie), przeciwnych współczynników (zmiana współczynników tak, aby po dodaniu równań stronami niektóre ze zmiennych uległy redukcji), wzory Cramera, metoda eliminacji Gaussa.

W przypadku układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi możliwe przypadki pokazuje tabela: Nazwa układu równań Rozwiązanie algebraiczne Warunek i przykład Interpretacja graficzna Oznaczony rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb (x, y) dwie proste przecinające się Nieoznaczony nieskończenie wiele rozwiązań dwie proste pokrywające się Sprzeczny brak rozwiązań lub dwie różne proste równoległe

Przypisy

Linki zewnętrzne Nagrania dla Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-28]: Algebra – układy równań: metoda podstawienia. Algebra – układy równań: metoda przeciwnych współczynników.

Kategoria:Równania