mały|300px|Ilustracja łączności dodawania liczb rzeczywistych na osi liczbowej: dla dowolnych

Łączność, asocjatywność – własność niektórych działań dwuargumentowych zdefiniowana odpowiednią równością, podaną niżej. Łączność dotyczy: części działań arytmetycznych jak dodawanie liczb rzeczywistych i ich mnożenie; niektórych działań, które bywają nauczane w szkołach średnich, np. pewnych działań na zbiorach, wektorach i funkcjach, w tym ciągach; części działań z matematyki wyższej, np. łączność zdarza się dla działań na liczbach zespolonych, hiperzespolonych, macierzach i ogólnych relacjach dwuargumentowych.

Łączność dodawania i mnożenia to twierdzenia nauczane w polskich szkołach podstawowych, umieszczone w podstawie programowej kursów matematyki Szkoła podstawowa IV-VIII. Matematyka, podstawaprogramowa.pl [dostęp 2024-09-19].. Łączność ma też znaczenie w matematyce bardziej zaawansowanej – jako: własność innych działań, wspomnianych wyżej; cecha definiująca istotne struktury w algebrze abstrakcyjnej.

Nazwę łączności wprowadził William Rowan Hamilton w I połowie XIX wieku Jeff Miller, Associative [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (A) , MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2024-09-20]..

Definicje mały|300px|Diagram przedstawiający łączność działania

Niech oznacza dowolny zbiór, a kwadrat – działanie dwuargumentowe w tym zbiorze: Działanie to nazywa się łącznym, jeśli dla wszystkich trójek elementów zachodzi równość:

Łączność oznacza, że jeśli układ nawiasów jest sensowny – czyli zgodny ze składnią – to nie wpływa na wynik. Można więc najpierw wykonać działanie wskazane przez dowolny z dwóch operatorów a potem wykonać działanie wskazane przez drugi z nich. Dlatego jeśli istotny jest tylko wynik obliczeń, a nie ich dokładny przebieg, to można zapisywać to działanie bez nawiasów:

Działanie, które nie jest łączne, nazywa się niełącznym MSC (Mathematics Subject Classification) – Matematyczna Klasyfikacja Przedmiotowa, matinf.uj.edu.pl [dostęp 2025-08-11]. Wojciech Guzicki i Marcin Mucha, Niebieskie książeczki, Olimpiada Informatyczna, oi.edu.pl [dostęp 2025-08-11].. Uwaga – łączność działań dwuargumentowych: bywa zapisywana inaczej, przez inny zapis działań, opisany w jednej z dalszych sekcji; ma też bardziej zaawansowaną definicję, podaną w innej dalszej sekcji.

Przykłady łączności mały|240px|Dodawanie wektorów na płaszczyźnie jest łączne:

Arytmetyka i algebra Dodawanie liczb rzeczywistych, zespolonych oraz kwaternionów Quaternion , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-20].; mnożenie powyższych obiektów:

dodawanie macierzy o ustalonych wymiarachprzy standardowym założeniu, że wyrazami macierzy są liczby rzeczywiste, zespolone lub inne elementy z łącznym dodawaniem. Wyjątki od tej reguły to np. liczby zmiennoprzecinkowe, o czym pisze odpowiednia sekcja:

mnożenie macierzy kwadratowychmnożenie jest też możliwe dla niektórych macierzy o różnych wymiarach, ale przy tym ogólnym rozumieniu nie jest to ściśle rozumiane działanie dwuargumentowe – nie jest określone dla dowolnej pary macierzy:

Podstawy matematyki Suma zbiorów przekrój zbiorów i ich różnica symetryczna Symmetric difference of sets , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2024-09-19]. rzut pary uporządkowanej na lewy element:

konkatenacja skończonych ciągów, zwanych też krotkami eSezam 1.0. Kody i szyfry, 1. Pojęcia podstawowe, Politechnika Warszawska, esezam.okno.pw.edu.pl [dostęp 2024-09-20].; złożenie funkcji [dostęp 2024-09-20].:

złożenie relacji dwuargumentowych Marek Zaionc, Jakub Kozik i Marcin Kozik, Logika i teoria mnogości. Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów, 3.1. Operacje na relacjach, wazniak.mimuw.edu.pl, 28 września 2020 [dostęp 2023-08-05].;

Analiza matematyczna splot funkcji:

Przykłady niełączności Najczęściej stosowana jest notacja z lewostronną łącznością (np. niełączne działania arytmetyczne), co wiąże się z powszechną praktyką zapisywania (i odczytywania) od lewej tekstu lub wyrażeń arytmetycznych, z kolejnością wprowadzania od lewej wyrażeń do kalkulatorów itd.

Działania lewostronnie łączne odejmowanie jest niełączne; np.

dla odejmowania stosuje się domyślnie notację lewostronnie łączną, tj.

dzielenie jest niełączne; np.

dla dzielenia stosuje się domyślnie notację lewostronnie łączną, tj.

Działania prawostronnie łączne potęgowanie jest niełączne; np.

dla potęgowania stosuje się domyślnie notację prawostronnie łączną, tj.

Inne działania niełączne mały|250px|Iloczyn wektorowy to przykład działania niełącznego: na ogół

różnica zbiorów – przykładowo:

iloczyn wektorowy w trójwymiarowej przestrzeni kartezjańskiej – na ogół:

przykładu niełączności dostarcza iloczyn wersorów [dostęp 2025-08-08].:

mnożenie oktonionów [dostęp 2025-08-08]. Cayley numbers , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-08-08].; dodawanie liczb zmiennoprzecinkowych Piotr Krzyżanowski i Leszek Plaskota Arytmetyka zmiennoprzecinkowa [w:] Metody numeryczne, wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2025-08-10]..

Własności działań łącznych Łączność a elementy odwrotne Jeśli działanie jest łączne, to każdy element ma względem tego działania co najwyżej jeden element odwrotny. Niech oznacza element neutralny działania, a i – elementy odwrotne do

Wtedy:

Twierdzenie odwrotne do powyższego nie zachodzi. Kontrprzykładem są oktoniony – w zbiorze tych niezerowych jest jednoznaczne dzielenie, ale mnożenie nie jest łączne.

Inne własności Łączność pozwala opuszczać nawiasy przy dowolnej skończonej liczbie zmiennych; np. dla dowolnych czterech argumentów zachodzą równości:

Każde z tych pięciu wyrażeń da się zapisać jako:

Działania na nieskończonej liczbie argumentów mają bardziej skomplikowane definicje. Czasem takie działanie może być oparte na działaniu łącznym, a mimo to być w pewnym sensie niełączne, tzn. jego wynik może zależeć od układu nawiasów. Przystępnym przykładem jest tu szereg Grandiego.

Łączność jest niezależna od przemienności – działanie może: mieć obie te własności; mieć tylko jedną z nich; nie mieć żadnej z nich.

Łączność w różnych notacjach Przegląd Niech Wtedy łączność można zapisywać różnie: w notacji funkcyjnej:

w notacji przedrostkowej (beznawiasowej):

w notacji przyrostkowej (beznawiasowej):

W powyższych trzech notacjach nie stosuje się reguły pomijania nawiasów: w pierwszym wypadku nawiasy są nieusuwalne; jest to w istocie odmiana notacji przedrostkowej; w następnych dwóch nawiasy są całkowicie zbędne. Należy jedynie odpowiednio zamieniać miejscami symbole działania i ich argumentów – por. zapis działań dwuargumentowych.

Oto wyrażenia z sekcji „Własności” w notacji przedrostkowej:

Notacja dla działań niełącznych W notacji wrostkowej dla działania niełącznego każde dwa argumenty (także te złożone) muszą być razem z operatorem objęte parą nawiasów (z wyjątkiem oczywiście najbardziej zewnętrznej pary argumentów). W notacji tej wszystkie nawiasy są niezbędne dla określenia kolejności wykonywanych działań. Przy większej ilości argumentów wyrażenia stają się przez to nieczytelne, np.:

W notacji przedrostkowej powyższe wyrażenie ma postać w notacji przyrostkowej W obu tych notacjach łączność lub niełączność działania nie ma oczywiście większego znaczenia, bowiem mimo braku nawiasów kolejność wykonywania działań jest „zakodowana” w wyrażeniu i jest możliwa do odtworzenia dzięki regułom tworzenia takich wyrażeń. Brak nawiasów nieco upraszcza zapis i przyczynia się do zwiększenia czytelności.

Notacja wrostkowa jednostronnie łączna Ilość nawiasów notacji wrostkowej można zmniejszyć (a tym samym nieco uprościć zapis), wprowadzając notację z łącznością jednostronną. Oznacza to wybór jednej z dwóch możliwych kolejności usuwania nawiasów w wyrażeniu: w lewostronnej łączności dopuszcza uproszczenie: i zakazuje się usuwania nawiasów w wyrażeniu w prawostronnej łączności dopuszcza uproszczenie: i zakazuje się usuwania nawiasów w wyrażeniu

Oczywiście kolejność usuwania nawiasów w notacji z jednostronną łącznością jest równoznaczne z odwrotną kolejnością ich przywracania (nawiasy domyślne). Np. wyrażenie w notacji z łącznością lewostronną jest równoznaczne z wyrażeniem czyli działania są wykonywane od lewej; w notacji z łącznością prawostronną jest równoznaczne z wyrażeniem czyli działania są wykonywane od prawej.

Stosując notację z lewostronną łącznością, wyrażenie uprości się do postaci z prawostronną do postaci

Notacja z jednostronną łącznością jest więc odmianą notacji wrostkowej, w której niektóre nawiasy można pominąć. Dla każdego działania binarnego niełącznego wybór notacji z lewostronną lub prawostronną łącznością jest całkowicie dowolny i arbitralny, ale raz dokonany wybór dla danego działania musi być utrzymany dla zachowania jednoznaczności wartościowania wyrażenia. Inaczej mówiąc, działanie binarne niełączne nie jest ani lewostronnie, ani prawostronnie łączne. Stwierdzenie, że jakieś działanie jest lewo/prawostronnie łączne oznacza, że wobec tego działania stosuje się notację wrostkową odpowiednio z lewo/prawostronną łącznością.

Rola w algebrze wyższej mały|220px|Diagram przemienny przedstawiający łączność złożenia strzałek (morfizmów): To jedno z podstawowych założeń w teorii kategorii mały|220px|Diagram przemienny pokazujący, że działanie jest łączne. oznacza iloczyn kartezjański, a – funkcję tożsamościową

Jak wspomniano we wcześniejszych sekcjach, łączność zachodzi w niektórych kontekstach matematyki wyższej jak algebra zbiorów, liczby zespolone, hiperzespolone i macierze. Twierdzenie Frobeniusa o algebrach mówi o możliwych uogólnieniach liczb rzeczywistych z zachowaniem podstawowych własności działań arytmetycznych. Mówi między innymi, że wśród tego typu rozszerzeń liczb zespolonych istnieje tylko jedno z łącznością mnożenia: kwaterniony.

Łączność występuje też w definicjach różnych struktur algebraicznych badanych przez algebrę abstrakcyjną. Przykłady to: grupy i ich uogólnienia jak monoidy, półgrupy i kategorie Category , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-08-08].; ciała i ich uogólnienia jak pierścienie i półpierścienie [dostęp 2024-09-19]. Semi-ring , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-19].; algebry Boole’a i ogólniejsze kraty, półkraty oraz pasy Marek Kępczyk, Rozdział 4. O własnościach pierścieni z gradacjami względem półgrup, s. 103, [w:] Wybrane zagadnienia informatyki technicznej. Podstawy matematyczne, Politechnika Białostocka, pb.edu.pl [dostęp 2024-09-20]..

W definicji przestrzeni liniowych pojawia się równość analogiczna do tej opisującej łączność Vector space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2024-09-19].. Ta równość także bywa nazywana łącznością Henryk Jankowski, Algebra wektorów, Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, home.agh.edu.pl [dostęp 2024-09-20]. [dostęp 2024-09-19].:

Algebra wyższa nie tylko korzysta z pojęcia łączności. Pozwala je też równoważnie zdefiniować przez złożenie funkcji – pokazuje to diagram przemienny obok, z iloczynami kartezjańskimi.

Zobacz też Algorytm szybkiego potęgowania Problem nawiasowania ciągu macierzy Test łączności Lighta

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne Krzysztof Kwiecień, Łączność mnożenia, kanał Khan Academy na YouTube, 24 lutego 2018 [dostęp 2024-09-19]. Associativity , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-19].

Kategoria:Własności działań