mały|Abraham de Moivre (1667–1754)
Wzór de Moivre’a – wzór na potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej, tj. w postaci
(1) Jeżeli jest liczbą całkowitą, to n-tą potęgę liczby z określa wzór:
(2) Jeżeli wykładnik potęgi jest odwrotnością liczby naturalnej, postaci , to obliczanie potęgi oznacza obliczanie pierwiastków -tego stopnia z liczby zespolonej (analogicznie, jak dla liczb rzeczywistych), przy czym przypomnijmy, że w dziedzinie liczb zespolonych, każda liczba ma dokładnie pierwiastków stopnia -tego (to wynika z tzw. zasadniczego twierdzenia algebry). Określa je wszystkie, następujący wzór: , Wzór ten opracował i opublikował Abraham de Moivre w I połowie XVIII wieku. Na początku XIX stulecia upowszechniło się nazywanie tego wzoru od jego nazwiska Jeff Miller, De Moivre’s theorem, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D) , MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-02-18]..
Postacie wykładnicze wzorów de Moivre’a W zapisie wykładniczym powyższe wzory mają postacie:
– postać wykładnicza liczby zespolonej, – potęga n-ta liczby zespolonej, – pierwiastki n-te liczby zespolonej.
Dowód wzoru W pierwszej kolejności, pokażemy dowód wzoru de Moivre’a, dla wszystkich wartości , będących w postaci liczb naturalnych. Dopiero kiedy dowiedziemy właśnie tego, uzupełnimy w odpowiedni sposób posiadany wtedy dowód wzoru de Moivre’a, do jego dowodu dla wszystkich liczb całkowitych; poprzez pokazanie, że także wszystkie całkowite liczby ujemne, spełniają rzeczony wzór – to łącznie, dowiedzie całości.
Zauważmy, że wzór jest oczywisty, dla przypadków: oraz .
Niech wzór jest prawdziwy dla tzn.
Wówczas dla dostaniemy
Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej, wzór zachodzi dla każdego naturalnego .
Z kolei dla ujemnych liczb całkowitych, mamy:
Obie części powyższego rozumowania, w sposób łączny, kończą cały dowód wzoru de Moivre’a (tzn. dla wszystkich całkowitych wartości liczby ). ∎
Uwagi Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1 Liczba ma w dziedzinie liczb zespolonych, dokładnie pierwiastków stopnia -tego. Są nimi liczby następującej postaci, tutaj oznaczone wszystkie wspólnie, za pomocą oznaczenia: (różne wartości , takie jak te poniżej napisane, brane do tego napisu, odtwarzają różne wspomniane pierwiastki):
Interpretacja pierwiastków zespolonych w płaszczyźnie zespolonej mały|201x201px|Pierwiastki 5-tego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej Jeżeli liczbę zespoloną zinterpretuje się jako wektor na płaszczyźnie zespolonej, to pierwiastek -tego stopnia z liczby jest zbiorem wektorów, których końce są rozłożone równomiernie co kąt na okręgu o środku w punkcie i promieniu , przy czym pierwszy wektor jest nachylony do osi rzeczywistej pod katem .
Na przykład: pierwiastki -tego stopnia z liczby układają się na okręgu o promieniu , , (gdyż , ).
Uwagi
Przypisy
Linki zewnętrzne Paweł Lubowiecki, Liczby zespolone cz. III. Wzór de Moivre’a, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09]. De Moivre formula , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-10-22].
Kategoria:Twierdzenia algebry Kategoria:Liczby zespolone