mały|250px|Początkowych jedenaście (11) wierszy trójkąta mały|250px|Każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią, co można opisać wzorem rekurencyjnym mały|250px|Każda liczba w trójkącie to wartość symbolu Newtona. Można go definiować właśnie trójkątem Pascala, ale też jako wartość współczynników dwumiennych, kombinatorycznie lub przez silnie
Trójkąt Pascala – rodzaj matematycznego diagramu, przeważnie w kształcie trójkątnej tablicy liczb. Trójkąt Pascala jest przedstawieniem pewnego nieskończonego ciągu: jego wyrazami są skończone ciągi liczb naturalnych. Przeważnie te ciągi są wypisywane w kolejnych wierszach diagramu; innymi słowy trójkąt Pascala to lista list; kolejne wiersze są coraz dłuższe. Początkowy ma tylko jeden wyraz, następny ma dwa i każdy następny jest dłuższy od poprzedniego o jeden wyrazpoczątkowy wiersz – czyli „szczyt” trójkąta – przeważnie jest numerowany jako zerowy (0), dla prostoty wzorów; każdy z tych skończonych ciągów – zapisywanych wierszami – zaczyna się i kończy jedynką (liczbą 1). Przez to na bokach trójkąta znajdują się wyłącznie jedynki; pozostałe elementy da się skonstruować z poprzednich wierszy. Każdy wyraz pomiędzy jedynkami jest sumą dwóch wyrazów poprzedniego ciągu – tych znajdujących się bezpośrednio nad wypełnianą komórką. Tę regułę przedstawia jedna z ilustracji obok i da się ją zapisać wzorem podanym niżej.
Ta struktura ma związki z różnymi obszarami matematyki, np. algebrą i kombinatoryką. To pozwala na inne, równoważne definicje tego trójkąta: liczby w kolejnych wierszach to współczynniki dwumianu Newtona – wzoru skróconego mnożenia na potęgę sumy, czyli na Przykładowo:
przez co wiersz numer trzy (3) to liczby 1, 3, 3, 1;
przez co wiersz numer cztery (4) to liczby 1, 4, 6, 4, 1; te same liczby są też opisem kombinacji bez powtórzeń, czyli podzbiorów zbioru skończonego. Zbiór czteroelementowy ma sześć podzbiorów dwuelementowych – zawiera sześć par nieuporządkowanych: przez co w wierszu numer cztery (4) na miejscu numer dwa (2) jest właśnie liczba sześć (6).
Te trzy zgodne wielkości – elementy trójkąta Pascala, współczynniki dwumienne i liczby kombinacji bez powtórzeń – zapisuje się tym samym symbolem, znanym jako symbol Newtona: gdzie: to numer wiersza, odpowiadający wykładnikowi potęgi oraz mocy nadzbioru w problemie kombinacji; to numer miejsca w wierszu, odpowiadający numerowi członu (składnika) w sumie i mocom podzbiorów w problemie kombinacji.
Przykład: W wierszu numer cztery (4) na miejscu numer dwa (2) stoi liczba sześć (6), co zapisuje się: Konstrukcja trójkąta podana na początku – oparta na jedynkach i dodawaniu – może być zwięźle zapisana wzorem rekurencyjnym:
Istnieją bezpośrednie wzory na symbol Newtona – np. używające silni i innych iloczynów – co pozwala na jeszcze więcej definicji i konstrukcji trójkąta Pascala, bez budowania go wiersz po wierszu dodawaniem. Ten diagram ma też związki z innymi działami matematyki jak teoria liczb i geometria fraktali.
Historia Trójkąt ten opisało niezależnie kilku matematyków: Omar Chajjam – perski uczony na przełomie XI i XII wieku; – Chińczyk z XIII wieku; Niccolò Tartaglia – włoski naukowiec z XVI wieku; Blaise Pascal – francuski intelektualista z XVII wieku. Połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwano trójkątem Pascala.
Własności trójkąta mały|300px|Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2
Na obu końcach każdego wiersza są jedynki – zgodnie z różnymi definicjami:
Oba „ukośne” ciągi jedynek sąsiadują z ciągami kolejnych dodatnich liczb naturalnych: 1, 2, 3, 4, ... Symbolicznie:
Dalsze „ukośne” ciągi w tym trójkącie są ciągami niektórych . Ciąg numer dwa (2) to sumy kolejnych liczb naturalnych, czyli liczby trójkątne Wajdi Mohamed Ratemi, The mathematical secrets of Pascal’s triangle , kanał TED-Ed na YouTube, 15 września 2015 [dostęp 2026-02-15].: 1, 3, 6, 10, 15, ...
Ciąg numer trzy (3) to sumy kolejnych liczb trójkątnych, czyli liczby czworościenne Elżbieta Miterka, Co łączy trójkąt Pascala z trójkątem Sierpińskiego?, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2026-02-16].: 1, 4, 10, 20, 35, ...
Ciąg numer cztery (4) to sumy kolejnych liczb czworościennych, czyli ich odpowiednik wielokomórkowowy w przestrzeni czterowymiarowej. Każdy wiersz jest symetryczny – odwrócenie kolejności jego komórek daje taki sam wiersz, czyli jest to palindrom. Opisuje to wzór:
Suma wszystkich liczb z jednego wiersza to potęga liczby dwa (2), a jej wykładnik jest numerem tego wiersza:
Każdy element trójkąta zawiera liczbę różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się do sąsiednich elementów w lewo w dół oraz w prawo w dół. Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego.
Udowodniono też inne tożsamości związane z tym diagramem, opisane w odpowiedniej sekcji artykułu: symbol Newtona.
Zastosowania Biologia W genetyce w odniesieniu do genów kumulatywnych. Biorąc co drugi wiersz zaczynając od wiersza drugiego (1:2:1) trójkąt pokazuje stosunki rozszczepień w przypadku cech determinowanych przez geny kumulatywne.
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Każdy współczynnik obrazuje liczbę dróg, którymi można dojść od wierzchołka do danego punktu – ma to wykorzystanie przy analizie prawdopodobieństwa przy użyciu Deski Galtona.
Programy obliczające 250px|thumb|Animacja trójkąta Pascala w reprezentacji binarnej.
Pascal Przykład prostej (ale nieekonomicznej) funkcji rekurencyjnej w języku Pascal, obliczającej element trójkąta Pascala. Wzór wynika z definicji rekurencyjnej elementów trójkąta. function pascal(n,k:integer):integer; begin if (k=0) or (k=n) then pascal := 1 else pascal := pascal(n-1, k-1) + pascal(n-1,k); end;
C++ Przykład drzewa Pascala napisany w języku C++, n – liczba wierszy, tablica zwraca wartość współczynnika w zadanym wierszu i kolumnie: long long **trojkatPascala; trojkatPascala= new long long *[n]; for (int j=0;j<n;j++)
trojkatPascala[j]=new long long [j+1]; trojkatPascala[j]=1; trojkatPascala[j][j]=1;
for (int i=0; i<j-1; i++) trojkatPascala[j][i+1]=trojkatPascala[j-1][i]+trojkatPascala[j-1][i+1];
Python A oto przykład programu w Pythonie wypisującego liczby z trójkąta Pascala dla zadanej liczby rzędów: def write_list(list): print(' '.join([str(item) for item in list]).center(30))
x = input("Podaj liczbe poziomow: ") line = write_list(line) for i in range(int(x) - 1): next_line = for j in range(len(line) - 1): next_line.append(line[j] + line[j + 1]) next_line.append(1) line = next_line write_list(line)
Uwagi
Przypisy
Linki zewnętrzne
Szymon Charzyński, Dwumian Newtona, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube, 22 lipca 2013 [dostęp 2026-02-15]. Praca Pascala Traité du triangle arithmétique z 1654 (po francusku) wraz z opisem w j. angielskim
Kategoria:Kombinatoryka Kategoria:Działania na liczbach Pascala Kategoria:Blaise Pascal