Rozkład hipergeometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujacy prawdopodobieństwo uzyskania sukcesów (tj. losowań, w których wylosowany obiekt ma szukaną cechę) w losowaniach bez zwracania z populacji o skończonej liczebności , zawierającej dokładnie obiektów mających tę cechę.
Niekiedy spotyka się inne sformułowanie, w którym zamiast parametru (liczby elementów całej populacji) używa się parametru , oznaczającego liczbę obiektów nieposiadających rozważanej cechy w populacji.
Dla porównania, rozkład dwumianowy opisuje prawdopodobieństwo uzyskania sukcesów w losowaniach ze zwracaniem.
Funkcja masy prawdopodobieństwa Zmienna losowa ma rozkład hipergeometryczny, gdy funkcja masy prawdopodobieństwa (pmf) jest dana wzorem
gdzie:
– wielkość populacji, – liczba obiektów, które mają określoną cechę w populacji, – liczba pojedynczych losowań (wielkość pobieranej próbki), – liczba sukcesów (czyli liczba wylosowanych obiektów, mających szukaną cechę) wylosowanych w próbce, – symbol Newtona. Wzór ten stosuje się dla , takich że . Poza tym przedziałem prawdopodobieństwa wynoszą zero.
Przykład W grze Lotto uczestnik kupuje zakład, w ramach którego typuje, które z 49 liczb zostaną wylosowane w losowaniu odbywającym się w określonym terminie. W pojedynczym losowaniu losuje się 6 liczb. W pojedynczym zakładzie uczestnik typuje również 6 liczb. Zmienna określająca, ile z wytypowanych w tym zakładzie liczb zostanie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami , , . Prawdopodobieństwo prawidłowego wytypowania wszystkich sześciu liczb (trafienia szóstki) wynosi więc:
zaś prawdopodobieństwo uzyskania trójki (prawidłowego wytypowania dokładnie trzech liczb) wynosi:
Jeżeli uczestnik gra systemem i typuje 8 liczb (co jest równoważne z zakupem odpowiedniej liczby powiązanych zakładów), zmienna określająca, ile z wytypowanych liczb będzie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami , , . W takiej sytuacji prawdopodobieństwo uzyskania szóstki wynosi:
Zobacz też rozkład geometryczny
Przypisy
Bibliografia
Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2001, wyd. "Script", Wyd. 2 popr., rozsz., (dodr.), str. 16, ISBN 978-83-904564-5-4
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-13].
Kategoria:Rozkłady dyskretne