mały|Funkcja wektorowa R2 → R2 i jej dywergencja reprezentowana przez pole skalarne Dywergencja, in. rozbieżność, źródłowość pola wektorowego – operator różniczkowy przyporządkowujący polu wektorowemu w przestrzeni euklidesowej 3-wymiarowej pole skalarne będące formalnie iloczynem skalarnym operatora nabla z wektorem pola.

Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe -wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.

Dywergencja w układzie współrzędnych kartezjańskich Założenia:

Dana jest funkcja określona na zbiorze otwartym klasy (tj. taka że jej pochodne cząstkowe ze względu na każdą ze zmiennych są funkcjami ciągłymi); funkcja ta ma w wybranym układzie współrzędnych trzy funkcje składowe i nazywana jest polem wektorowym w przestrzeni

Definicja:

Dywergencją pola wektorowego nazywa się pole skalarne będące sumą pochodnych cząstkowych funkcji składowych pola wektorowego po odpowiednich współrzędnych, tj.

co można zapisać symbolicznie

gdzie: – operator wektorowy nabla symbol oznacza mnożenie skalarne operatora wektorowego nabla z wektorem pola.

Dywergencja we współrzędnych krzywoliniowych W dowolnych współrzędnych krzywoliniowych przestrzeni -wymiarowej euklidesowej lub przestrzeni pseudoeuklidesowej (i ogólniej – w przestrzeni riemannowskiej lub pseudoriemannowskiej) dywergencję w danym punkcie wyraża wzór

gdzie: – moduł wyznacznika tensora metrycznego współrzędnych krzywoliniowich obliczony w danym punkcie, – pochodna cząstkowa po współrzędnej krzywoliniowej – dane pole wektorowe w przestrzeni -wymiarowej.

W powyższym wzorze trzeba wykonać sumowanie po powtarzającym się indeksie przyjmując

Współrzędne sferyczne Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać dywergencji w układzie współrzędnych sferycznych Jeżeli pole wektorowe wyrazi się w lokalnej bazie współrzędnych sferycznych

to dywergencja ma postać:

Współrzędne walcowe Z ogólnego wzoru można otrzymać postać dywergencji w układzie współrzędnych walcowych

Jeżeli pole wektorowe wyrazi się w lokalnej bazie współrzędnych walcowych

to dywergencja ma postać:

Definicja geometryczna dywergencji (1) Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego

Dywergencję można zdefiniować najogólniej nie odwołując się do układu współrzędnych, a korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, które mówi, że:

Jeżeli jest zwartym podzbiorem przestrzeni którego brzeg jest dodatnio zorientowany oraz kawałkami gładki, a jest polem wektorowym klasy określonym na zbiorze otwartym, zawierającym to

gdzie: – jednostkowy wektor normalny do infinitezymalnej powierzchni w otoczeniu punktu

(2) Definicja:

Dywergencją w punkcie zbioru nazywa się granicę całki obliczanej po powierzchni otaczającej punkt uzyskaną poprzez ściąganie powierzchni do punktu tj.

gdzie – objętość obszaru zawartego w powierzchni

Uwaga: oznacza infinitezymalny element powierzchni; formalnie jest to 2-forma postaci oznacza infinitezymalny element objętości; formalnie jest to 3-forma postaci

Dywergencja dla pola tensorowego 2 rzędu (z macierzy) Dywergencja w kartezjańskim układzie współrzędnych dla różniczkowalnego w sposób ciągły tensora drugiego rzędu zdefiniowanego następująco:

jest polem wektorowym (tj. w wyniku w danym punkcie otrzymywany jest wektor kolumnowy, czyli kontrawariantny). Dywergencję można zdefiniować na dwa sposoby

oraz

gdzie oznacza transpozycję. W ogólności zachodzi następująca równość

Niemniej jednak jeśli tensor jest symetryczny tj. zachodzi pełna równość obydwu definicji tj. co jest przyczyną zamiennego stosowania tych operatorów w literaturze bazującej na owej symetrii (np. związanej z mechaniką).

Twierdzenia Następujące twierdzenia dowodzi się w oparciu o reguły różniczkowania.

Tw. 1

Dywergencja jest operatorem liniowym, tj.

dla dowolnych pół wektorowych i dla dowolnych liczb rzeczywistych

Tw. 2

Jeżeli jest polem skalarnym, to

lub równoważnie

gdzie – gradient funkcji skalarnej.

Zastosowania Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego zwane twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.

Interpretacja w mechanice płynów

Rozważany jest problem przepływu cieczy nieściśliwej przy występowaniu źródeł (albo wycieków). Wydajnością źródeł wewnątrz zamkniętej powierzchni nazywa się ilość cieczy wypływającej z powierzchni w jednostce czasu. Innymi słowy, wydajność źródeł to strumień wektora prędkości to znaczy

Dla źródeł w danym obszarze rozłożonych w sposób ciągły, można wprowadzić pojęcie ich gęstości, to znaczy granicę wydajności źródeł w obszarze które zawierają punkt na jednostkę objętości, tzn.

co oznacza, że dywergencja pola prędkości cieczy jest w powyższym przykładzie gęstością źródeł.

Zobacz też

Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego operator d’Alemberta

Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej gradient operator Laplace’a operator nabla w różnych układach współrzędnych rotacja

Przypisy

Bibliografia

L.D. Landau, J.M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009.

Linki zewnętrzne Divergence , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

Kategoria:Analiza matematyczna Kategoria:Rachunek wektorowy Kategoria:Kontakty językowe