thumb|upright=1.5 thumb|upright=2|Trójwymiarowa ilustracja wzoru Eulera
Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą, określany nazwiskiem Leonharda Eulera.
Wzór Niech zaś jest jednostką urojoną, wtedy wzór Eulera ma postać:
Historia Wzór Eulera został dowiedziony po raz pierwszy przez Rogera Cotesa w 1714 w postaci
Euler jako pierwszy opublikował go w formie „standardowej” – tej, która później stała się najczęstszą. Zrobił to w 1748, opierając swój dowód na równości szeregów po obu stronach tożsamości. Żaden z nich nie podał interpretacji geometrycznej tego wzoru: utożsamienie liczb zespolonych z płaszczyzną zespoloną powstało około 50 lat później (wynik Caspara Wessela).
Dowód Rozwinięte w szereg potęgowy funkcje przyjmują postać:
Powyższe wzory służą jako definicje zespolonych funkcji exp, sin i cos, tzn. definiuje się funkcje: , ., .
Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych.
W szczególności mamy:
gdzie skorzystaliśmy z tego, że: jeżeli szeregi oraz są zbieżne, to zbieżny jest również szereg oraz: (addytywność); jeżeli szereg jest zbieżny, to również szereg jest zbieżny, oraz gdzie c jest stałą (jednorodność).
Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia daje oryginalną tożsamość opisaną przez Eulera.
Inne uzasadnienie formuły Niech będzie dana przez Wówczas
Następnie niech Wtedy
dla każdego a stąd jest funkcją stałą. Ponieważ
mamy dla wszystkich Stąd też czyli
Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.
Trygonometria Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii, dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej. Odpowiednie wzory można wyprowadzić, budując odpowiedni układ równań:
Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:
Po dodaniu stronami:
Analogicznie otrzymuje się wzór:
Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie daje:
Zastosowanie Tożsamość może zostać wykorzystana jako metoda do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga ona co prawda przejścia w rachunkach przez liczby zespolone, ale nie wymaga żadnej wiedzy na ich temat oprócz pamiętania, że i znajomości poniższych trzech wzorów (funkcje tangens i cotangens określa się tak samo jak w przypadku rzeczywistym):
Najpierw należy przekształcić upraszczany wzór za pomocą dwóch pierwszych wzorów na postać wykładniczą (w przypadku tangensa i cotangensa, rozbijając go na iloraz funkcji sinus i cosinus), następnie wykonać odpowiednie działania tak, jak na zwykłych potęgach liczb rzeczywistych, a na koniec stosując jeden z wzorów Eulera, wrócić do postaci trygonometrycznej wyrażenia.
Przykłady Sinus kąta zwielokrotnionego Dla całkowitych dodatnich wyrażenia postaci dają się wyrazić za pomocą samych wartości i oraz elementarnych działań.
Korzystając z powyższych wzorów:
Ze wzoru Eulera:
Z dwumianu Newtona:
Wyłączając wspólny czynnik:
i stosując wzór Eulera, dostajemy ostatecznie
Kilka pierwszych wielokrotności:
Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:
Korzystając ze wzorów Eulera na sinus i cosinus:
Po wymnożeniu jest:
i dalej:
po skróceniu:
dlatego po zastosowaniu pierwszego z podanych wzorów Eulera wyrażenie ma postać:
Całkowanie funkcji trygonometrycznych przy pomocy wzoru Eulera Obliczyć całkę:
Podstawiając odpowiednie wzory Eulera na sinus i cosinus oraz wymnażając:
W tym miejscu wyrażenie można było scałkować, a dopiero potem zwinąć je do wzorów na sinus i cosinus. Obie metody dają to samo rozwiązanie:
Całkowanie funkcji przy pomocy wzoru Eulera i wykorzystanie części rzeczywistej liczby zespolonej Użycie wzoru Eulera pozwala na całkowanie również innych funkcji, w których pojawiają się wzory trygonometryczne, jak na przykład:
ponieważ jest częścią rzeczywistą możemy zapisać
Całka po prawej stronie jest łatwa do wyliczenia:
A zatem:
Metody te pomagają przy wyznaczaniu kolejnych współczynników szeregów Fouriera, w których występują całki postaci i
Tożsamość Eulera thumb|300px|Funkcja wykładnicza ez może być zdefiniowana jako granica ciągu (1+z/N)N, przy N dążącym do nieskończoności. Powyżej kładziemy z=iπ i rozważamy wartości N od 1 do 100. Obliczanie wartości (1+iπ / N)N jest przedstawione jako N-krotne powtórzenie mnożenia na płaszczyźnie zespolonej (gdzie ostatni punkt to wartość (1+iπ / N)N). Zauważmy, że ze zwiększaniem liczby N, liczba zespolona (1+iπ / N)N zbliża się do −1. Zatem eiπ=-1. W szczególności, podstawiając otrzymuje się równość:
nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera).
Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.
„Najpiękniejszy wzór” Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym. Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych: liczbę 0, liczbę 1, liczbę π, liczbę e, liczbę i, jednostkę urojoną liczb zespolonych.
Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz, co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania, którego prawa strona jest zerem.
Uogólnienie Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki -tego stopnia sumują się do dla
Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie Powyższą równość można zapisać i w postaci:
ponieważ:
Zobacz też funkcja wykładnicza liczby zespolone logarytm naturalny stała Gelfonda
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Piotr Stachura, Wzór i tożsamość Eulera, kanał Khan Academy na YouTube, 7 października 2017 [dostęp 2024-06-23]. Grant Sanderson, Euler’s formula with introductory group theory, kanał 3blue1brown, YouTube, 3 marca 2017 [dostęp 2021-03-15]. [dostęp 2023-06-18]. Euler formulas , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Kategoria:Twierdzenia trygonometrii Kategoria:Liczby zespolone Kategoria:Twierdzenia – analiza zespolona Kategoria:Leonhard Euler