Regularna liczba kardynalna – nieskończona liczba kardynalna, która nie może być przedstawiona jako suma mniej niż κ zbiorów mocy mniejszej niż κ. Nieskończone liczby kardynalne, które nie są regularne nazywa się liczbami osobliwymi (singularnymi).
W dalszej części artykułu zakłada się ZFC (bez aksjomatu wyboru niektóre definicje należy sformułować inaczej i niektóre stwierdzenia nie są prawdziwe).
Pojęcia wstępne Liczba porządkowa jest początkową liczbą porządkową, jeśli nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywa się liczbami kardynalnymi (ich klasę oznacza się ).
Każdy zbiór A jest równoliczny (przy założeniu ZFC) z pewną liczbą kardynalną oznaczaną nazywaną mocą tego zbioru. Najmniejszą nieskończoną liczba kardynalną jest moc zbioru wszystkich liczb naturalnych oznaczana
Współkońcowość (kofinalność) nieskończonej liczby kardynalnej to najmniejsza liczba kardynalna , za pomocą której dowolny zbiór mocy można przedstawić w postaci sumy wielu zbiorów mocy mniejszej niż dla pewnych zbiorów o tej własności, że wszystkich zachodzi
Uwaga Zdefiniowana powyżej współkońcowość liczby κ jest zgodna ze współkońcowością tej liczby jako porządku liniowego: istnieje rosnący ciąg taki że oraz
Definicje Liczbę kardynalną nazywa się liczbą regularną, gdy ; liczbą osobliwą, jeśli .
Podstawowe własności są liczbami regularnymi. Następnik liczby kardynalnej (dla danej liczby pierwsza liczba kardynalna od niej większa, oznaczana ) jest liczbą regularną. jest najmniejszą liczbą osobliwą. Następną taką liczbą jest Jeśli jest graniczną liczbą porządkową, to Zatem dla granicznych jest regularną liczbą kardynalną wtedy i tylko wtedy gdy jest liczbą nieosiągalną. Z punktu widzenia arytmetyki liczb kardynalnych, liczby regularne zachowują się całkowicie inaczej niż liczby osobliwe: Zachowanie funkcji dla liczb regularnych jest ograniczone jedynie przez warunek i przez trywialny warunek Mianowicie, niech F będzie rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych, której wartościami są nieskończone liczby kardynalne oraz dla wszystkich regularnych Wówczas (jest niesprzecznym z ZFC, że) dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych Właściwości funkcji dla liczb osobliwych zostały mniej poznane. Teoria PCF demonstruje nietrywialne ograniczenia zachowania tej funkcji. Hipoteza liczb osobliwych (SCH) to zdanie stwierdzające, że „dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej jeśli , to ”. Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję dla liczb regularnych. Naruszenie SCH jest związane z dużymi liczbami kardynalnymi: Z naruszenia SCH można znaleźć pewne duże liczby kardynalne w modelach wewnętrznych; a jeśli istnieją wystarczająco duże liczby kardynalne, można skonstruować modele naruszające SCH.
Kategoria:Rodzaje liczb kardynalnych