thumb|Wolfgang Pauli (1900–1958) Macierze Pauliego (spinowe macierze Pauliego) – zbiór 3 zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzony w 1927 roku przez Wolfganga Pauliego w celu opisu spinu elektronu w mechanice kwantowejWolfgang Pauli, Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons, „Zeitschrift für Physik”, Bd. 43, 1927, s. 601.:
W fizyce niekiedy używa się oznaczeń i
Czasem używa się również symbolu σ0 na oznaczenie macierzy jednostkowej wymiaru choć najczęściej macierz jednostkową oznacza się symbolem tj.
Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową tworzą bazę, w rozumieniu Hilberta-Schmidta: w zespolonej przestrzeni Hilberta macierzy zespolonych wymiaru 2×2 oraz w rzeczywistej przestrzeni Hilberta zespolonych macierzy Hermitowskich o wymiarze
Właściwości algebraiczne Niech oznacza macierz jednostkową.
(1) Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego spełniają równania:
gdzie
(2) Iloczyny macierzy Pauliego
a) Obliczając iloczyny macierzy Pauliego, otrzyma się:
itd.
b) Ogólnie mamy:
gdzie
(3) Z powyższych wzorów wynikają relacje komutacji oraz antykomutacji, np.
gdzie komutator i antykomutator zdefiniowane są następująco:
Ogólnie mamy:
gdzie: – symbol Leviego-Civity, – delta Kroneckera.
(4) Inna własność macierzy Pauliego:
Wartości i wektory własne (1) Każda z macierzy Pauliego ma dwie wartości własne, +1 i −1.
(2) Wektory własne macierzy Pauliego (znormalizowane do 1):
– dla macierzy
– dla macierzy
– dla macierzy
Wektor macierzy Pauliego. Iloczyn skalarny (1) Wektor macierzy Pauliego zdefiniowany jest następująco:
gdzie – wersory osi układu współrzędnych kartezjańskich.
(2) Niech dany będzie wektor taki że
Wtedy iloczyn skalarny wektora macierzy Pauliego przez wektor ma postać:
(3) Tw. Dowolny wektor komutuje z wektorem macierzy Pauliego, gdyż mnożenie macierzy przez liczbę zawsze jest przemienne, np.
Twierdzenia
oraz
gdzie:
– wektor jednostkowy skierowany w dowolnym kierunku. Dowód (#1)
Dowód (#2)Najpierw zauważmy równość
(Może być udowodniona dla n=1 z użyciem relacji antykomutacji).
Dla pozostałych:
Połączenie tych dwóch faktów z wiedzą o relacjach eksponencjalnych z sin i cos:
Kiedy podstawimy
otrzymamy
Suma cosinusów po lewej stronie i suma sinusów po prawej, więc ostatecznie,
Informatyka kwantowa Macierze Pauliego mają wielkie znaczenie w informatyce kwantowej. Wykorzystywane są jako bramki jednokubitowe. Oznacza się je zwyczajowo jako kolejno dla
Zobacz też równanie Pauliego spinor Pauliego
Inne: algebra Liego kwaterniony macierze Diraca wektor Blocha
Przypisy
Linki zewnętrzne
Macierze Pauliego w encyklopedii PlanetMath Pauli matrices , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
Kategoria:Przykłady macierzy kwadratowych Kategoria:Mechanika kwantowa