Grupa bijekcji, grupa symetryczna – grupa wszystkich bijekcji ustalonego zbioru z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako funkcja odwrotna).
Nazwa grupa symetryczna może mieć węższe znaczenie – oznaczać grupę permutacji, czyli bijekcji zbiorów skończonych. Grupy bijekcji zbioru oznaczane są często. choć stosuje się też inne oznaczenia, np. , czy
Liczba elementów (tj. rząd) grupy bijekcji zbioru wynosi w przypadku skończonym zapis ten należy rozumieć jako silnię, w nieskończonym jako (na podstawie twierdzenia Cantora–Bernsteina–Schrödera).
Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę bijekcji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup bijekcji dotyczą również dowolnych grup abstrakcyjnych.
Przykłady Jeśli jest zbiorem pustym, to grupa bijekcji składa się z jednego elementu, (bijekcji pustej). Gdy jest zbiorem liczb naturalnych, to grupa bijekcji jest mocy continuum, gdyż
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-22]. Symmetric group , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-05]. symmetric group , nLab, ncatlab.org [dostęp 2024-09-05].
B Kategoria:Składanie i odwracanie funkcji